幂函数与二次函数(一轮复习课件).ppt

1. 二次函数的定义 形如：f(x)＝____________的函数叫做二次函数． 2. 二次函数的图象与性质 (1)函数f(x)＝ax2＋ax＋1在x轴的上方则a的取值范围________． (2)f(x)＝x2－2x＋2的定义域，值域均为[1，b]，则b＝________. 3. 幂函数的概念 形如________的函数叫做幂函数，其中________是自变量，________是常数． 设f(x)＝(m－1)xm2－2.如果f(x)是正比例函数，则m＝________，如果f(x)是反比例函数，则m＝________，如果f(x)是幂函数，则m＝________. 4. 常用幂函数的性质 1. 理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 2. 会求二次函数在闭区间上的最值． 3. 能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题． 3个熟知规律 1. 在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从四个方面分析：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号． 2. 在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解． 3. 研究二次函数图象要结合二次函数对应方程的根及对应二次不等式的解集来确定图象形状. [审题视点]　先利用幂函数的定义确定出m的取值范围，再利用f(x)在(0，＋∞)上是增函数确定m的具体值． [答案]　B (1)幂函数的形式是y＝xα，其中只有参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)若幂函数y＝xα(α∈Z)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)单调递增，则α0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α0. 例2　已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)当a＝－2时，求f(x)的最值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数； (3)a＝－1时，求f(|x|)的单调区间． [审题视点]　解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系，结合图象式单调性求解，对于(3)应先将函数化为分段函数，再求单调区间． [解]　(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1 则函数在(－4,2)上为减函数，在(2,6]上为增函数． ∴f(x)min＝f(2)＝－1，f(x)max＝f(－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35. 其图象如图所示： 又∵x∈[－4,6]，∴f(|x|)在区间(－4，－1)和(0,1)上为减函数，在区间(－1,0)和(1,6)上为增函数． 奇思妙想：若将(2)问“函数y＝f(x)在区间[－4,6]上不单调”，求a的范围． 解：∵函数在[－4,6]上不单调， ∴由图象性质得－4－a6，∴－6a4. (1)影响二次函数f(x)在区间[m，n]上最值的要素有三个，即抛物线的开口方向，对称轴位置，闭区间，常用数形结合思想求解，当三要素中一要素不明确时，要分类讨论，往往需讨论区间和轴的位置或根与区间关系式判别式Δ符号等． (2)确定与应用二次函数单调性常借助其图象数形结合． 例3　[2013·衡水月考]设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|. (1)若f(0)≥1，求a的取值范围； (2)求f(x)的最小值． [审题视点]　(1)求a的取值范围，是寻求关于a的不等式，解不等式即可；(2)求f(x)的最小值，由于f(x)可化为分段函数，分段函数的最小值分段求，各段上最小值的最小者即为所求． 在解答本题时有两点容易造成失分：一是求实数a的值时，讨论的过程中没注意a自身的取值范围，易出错；二是求函数最值时，分类讨论的结果没能用分段函数表示． [变式探究]　(1)设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)＝________. (2)[2013·金版原创题]设函数y＝－x2＋2ax－a在x∈[0,1]时有最大值2，则a的值为________． 解析：(1)函数图象的对称轴是直线x＝1，分对称轴在区间[－2，a]内，对称轴在区间[－2，a]右边两种情况进行讨论． ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1，而x＝1不一定在区间[－2，a]内，应进行讨论． 当－2a1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，ymin＝a2－2a； ②当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a， ∴a2－a＝2，∴a＝－1或a＝2(都舍去)． ③当a1时，f(x)max＝f(1)＝a－1， ∴a－1＝2，a＝3 综上可知a＝－2或a＝3. 【选题·热考秀】 [2012·江苏高考]已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a