MATLAB与插值.ppt

三种插值的比较 拉格朗日插值（高次多项式插值）： 曲线光滑；误差估计有表达式 收敛性不能保证（振荡现象） 用于理论分析，实际意义不大 分段线性插值： 收敛性良好 只用两个节点，且线性，简单实用 曲线不光滑 三次样条插值:(*) 曲线2阶光滑，收敛性有保证 实际中应用广泛 误差估计较难 通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插值方法的插值效果进行比较。 To MATLAB (moutain) 返回 返回 插值函数griddata格式为: cz =griddata（x，y，z，cx，cy，‘method’） 用MATLAB作散点数据的插值计算 要求cx取行向量，cy取为列向量。 被插值点 插值方法 插值节点 被插值点的函数值 ‘nearest’ 最邻近插值 ‘linear’ 双线性插值 ‘cubic’ 双三次插值 缺省时, 双线性插值 例 在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进入。 9 4 9 8 8 9 9 z -33.5 84.0 -66.5 56.5 3.0 -81.0 -6.5 y 117.5 162.0 162.0 81.0 77.0 107.5 157.5 x 8 8 6 8 6 8 4 z 85.5 137.5 22.5 147.0 23.0 141.5 7.5 y 105.5 195.0 185.5 88.0 103.5 140.0 129.0 x To MATLAB hd1 返回 4.作出水深小于5的海域范围,即z=5的等高线. * * 数学建模与数学实验 山东建筑大学 插 值 Mathematical modeling 拉格朗日插值 分段线性插值 三次样条插值 一 维 插 值 一、插值的定义 二、插值的方法 三、用Matlab解插值问题 返回 返回 二维插值 一、二维插值定义 二、网格节点插值法 三、用Matlab解插值问题 最邻近插值 分片线性插值 双线性插值 网格节点数据的插值 散点数据的插值 一维插值的提法 已知 n+1个节点 其中 互不相同，不妨设 求任一插值点 处的插值 ? ? ? ? ? 节点可视为由 产生, 表达式复杂, 或无封闭形式, 或未知。 ? 构造一个(相对简单的)函数 通过全部节点, 即 再用 计算插值，即 ? ? ? ? ? ? 返回 求 解 插 值 问 题 的 基 本 思 路 称为拉格朗日插值基函数。 已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下 其中Li(x) 为n次多项式： 拉格朗日(Lagrange)插值 拉格朗日(Lagrange)插值 特别地: 两点一次(线性)插值多项式: 三点二次(抛物)插值多项式: 拉格朗日多项式插值的 这种振荡现象叫 Runge现象 采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形. 例 返回 To Matlab lch(larg1) 分段线性插值 计算量与n无关; n越大，误差越小. ? ? ? ? ? ? xj xj-1 xj+1 x0 xn x o y To MATLAB xch11，xch12，xch13，xch14 返回 例 用分段线性插值法求插值,并观察插值误差. 1.在[-6,6]中平均选取5个点作插值(xch11) 4.在[-6,6]中平均选取41个点作插值(xch14) 2.在[-6,6]中平均选取11个点作插值(xch12) 3.在[-6,6]中平均选取21个点作插值(xch13) 返回 比分段线性插值更光滑。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? x y xi-1 xi a b 在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。 三次样条插值 三次样条插值 g(x)为被插值函数。 例 用 三次样条插值 ，选取11个基点计算插值(ych) 返回 To MATLAB ych(larg1) 返回 用MATLAB作插值计算 一维插值函数： yi=interp1(x，y，xi，method) 插值方法