从毛发纤维中抽象出的分形几何与拓扑.doc

Ξ 从毛发纤维中抽象出的分形几何与拓扑 殷雅俊1 ,2 , 杨 帆1 , 李 颖1 , 范钦珊2 (1. 清华大学 航天航空学院 工程力学系 ,北京 100084 ; 2. 南京工业大学 力学部 ,南京 211816) (郑泉水推荐) 摘要 : 以羊毛纤维和人类头发为原型 ,以超级分形纤维概念为基础 ,抽象出了 (3) 分圆和 (9 + 2) 分 圆分形集 ,构造了 (3 ,9 + 2) 分圆和 (9 + 2 ,3) 分圆双重分形集1 针对 (9 + 2) 拓扑花样 ,证明了这样的 命题 : (9 + 2) 拓扑花样精确地存在 ,但不唯一 ,其总个数为 9 ,其中有 2 种同素异构体 ,即 9 种拓扑花 样中 ,只有 2 种是独立 (或基本) 的1 另外证实了 (3 ,9 + 2) 或 (9 + 2 ,3) 分圆分形花样是一个对称性 破缺的黄金分形1 关 键 词 : 毛发纤维 ; (9 + 2) 拓扑 ; 对称性破缺 ; 双重分形集 ; 分形几何 中图分类号 : Q811. 6 ;O184 文献标识码 : A DOI : 10. 3879/ j . issn. 100020887. 2009. 08. 004 引 言 近期 ,我们在超级分形纤维1 24 的研究中取得了进展1 超级分形纤维 ,是横截面为严格自 相似分形图案的纤维 ,与其对应的分形集 ,称为超级分形集3 1 超级分形纤维虽然种类繁多 , 但它们都是单重分形结构 1 然而 ,生物体中的纤维都是多重结构 ,当其满足一定的自相似性 时 ,就构成多重分形结构1 因此 ,有必要以生物纤维为参照 ,将单重分形纤维扩展成多重分形 纤维1 这构成了本文的研究动机1 论文包括 4 部分 :首先 ,以羊毛纤维和人类头发为原型 ,抽象出 (3) 分圆超级分形纤维和 (9 + 2) 分圆超级分形纤维 ;其次 ,基于 (3) 分圆和 (9 + 2) 分圆超级分形纤维 ,构造出 (3 ,9 + 2) 和 (9 + 2 ,3) 分圆两种双重分形集 ; 再者 ,证明了双重分形集中 (9 + 2) 拓扑花样的存在性和非唯一 性 ;最后 ,揭示了 (3 ,9 + 2) 和 (9 + 2 ,3) 分圆双重分形集的“黄金属性”,指出了这两种双重分形 集源自 (9 + 2) 拓扑花样的破缺的对称性1 1 从毛发抽象出的分形集和双重分形集 动物毛发中 ,羊毛5 26 和人类头发备受关注1 羊毛纤维 ( 图 1) 和人类头发 ( 图 2) 都是典型 的多级结构 ,二者最小的组元都是角蛋白 ,其长链是典型的右手 α螺旋 1 从微观的角蛋白分 Ξ 收稿日期 : 2009205214 ; 修订日期 : 2009206229 基金项目 : 国家 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 (; ; 江 苏 省 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 (B K2008370) 作者简介 : 殷雅俊 (1964 —) ,男 ,河南人 ,教授 ,博士 ,博士生导师 (联系人. Tel : + 86210262795536 ; )  子到宏观的毛发纤维 ,一般有 6 级结构 : ①α螺旋角蛋白 → ②3 股α螺旋向左缠绕成 1 根原纤维 → ③11 根原纤维排列成电缆 式“9 + 2”型微纤维 → ④微纤维结合成大纤维 → ⑤大纤维组装成纤状细胞 → ⑥纤状细胞 组合成毛发纤维1 图 1 羊毛纤维的多级结构5 26 图 2 人类头发的多级结构 不仅羊毛纤维和人类头发的多级结构很相似 ,动物的毛发 ,在多级结构的组织方式上 ,都 有相似之处1 这种广泛存在的相似性 ,为我们提炼出具有普适意义的几何结构 ,提供了参考1 原纤维 (图 1 、2 中的第 ②级结构) 普遍存在于动物的毛发中 ,其横截面就是 3 条 α螺旋的 横截面 1 如果每条α螺旋的横截面都被理想化为圆形 , 圆形半径就是相邻两条α螺旋的相互 作用半径 ,则得到 (3) 分圆几何构图 (即图 3 (a) 中的第一级结构) 1 如果以图 3 ( a) 为基础 ,以自 相似的方式构造无穷多级结构 ,则生成 (3) 分圆超级分形集 , ( 即 (3) 分圆超级分形纤维的横截 面3 ) 1 微纤维 (图 1 、2 中的第 ③级结构) 也普遍存在于动物的毛发中 ,其横截面是“9 + 2”几何图 案1 类似地 ,我们先将其理想化为 (9 + 2) 分圆 ( 即图 4 ( a) 中的第一级结构) ,然后按照自相似 规则无限推广 ,构造出无穷多级的 (9 + 2) 分圆超级分形集 (图 4) 1 当然 ,我们也可以将图 4