偏微分方程基本概念与三类典型方程的导出.ppt

教材：季孝达等编《数学物理方程》 数理方程的基本概念 偏微分方程（PDE）的基本概念 1.1 三类经典方程的导出 波动方程 一维均匀弦的微小横振动问题 调和方程（Laplace方程, Poisson方程 ） 静电场问题 热传导方程(扩散方程) 三维热传导问题 均匀弦的微小横振动问题 弦的特点：匀、细、软、紧的一根弹性细线。 振动特性：微小的、横向振动：振动的幅度很小，弦在任意位置处切线的倾斜角很小。 · 考虑一根拉紧的长为l 的弦，线密度 , 以弦的平衡位置所在直线为 x 轴，并以弦的左端点为坐标原点，则右端点的坐标为 （l，0）。求它在平衡位置附近作微小的横向振动的规律。 设弦上坐标为 x 的点在时刻 t 沿垂直于 x 轴方向的位移用函数 u (x, t) 来表示。 现在研究弧段在时刻 t 时的受力情况。 弦所受的力有弦内部的张力T，其方向沿弦的切线方向。 假设在弧段运动方向，即ou轴方向上存在外力作用。 于是有 小结（2） 以上推导过程实际上就是将微元运动满足的物理定律翻译成用已知函数、未知函数及其偏导数表示的数学式子。弦振动中的基本物理定律是牛顿第二定律和胡克定律。弹性杆的纵振动、弹性模的横振动、声波在空气中的传播等，都可用类似方法导出同一类型的方程 静电场问题 设真空有电荷分布，密度为 ，引起的稳恒电场为 总结：三类经典的数学物理方程 波动方程 一维均匀弦的微小横振动方程 调和方程（Laplace方程, Poisson方程 ） 静电场方程 热传导方程(扩散方程) 三维热传导方程 * 数学物理方程 数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的偏微分方程． 数学物理方程广泛用于研究自然界中的诸多物理现象和普遍规律，比如热传导，弦振动，气体扩散等等. 序 言 科学、工程问题的求解一般流程 实际问题 数学物理模型 数学方法 学习基本原理，基本求解方法 随着计算机的发展，数值方法已深入到物理、材料科学与加工、信息等各个领域。 数值方法 分析方法 本课仅限介绍数学模型的最基本的解析分析方法。 第1章 偏微分方程定解问题 数学物理方程的基本概念 三类典型的数学物理方程的导出 一阶线性偏微分方程和某些二阶线性方程偏微分方程通解的解法 处理一般线性问题的基本原理 叠加原理 齐次化原理 1.1 自变量 未知函数 偏微分方程的一般形式 PDE的阶： 偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶数 称为偏微分方程的阶。 线性PDE 非线性PDE 如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶偏导数都是一次的， 及其系数仅依赖于自变量，就称为线性偏微分方程。 非线性PDE 半线性PDE 拟线性PDE 完全非线性PDE 二阶线性PDE： 线性PDE的自由项:方程中不含未知函数及其偏导数的项称为自由项。 当自由项 时，称为齐次方程，否则称为非齐次方程。 主部 偏微分方程的解： 古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，且方程中出现的偏导数都连续，则这个连续函数就是该偏微分方程的古典解。 通解：含有与偏微分方程阶数相同的、相互独立的任意函数（常数）的解。 特解：不含任意函数或任意常数的解。 1. 线性PDE 2. 线性PDE 3. 非线性PDE 4. 非线性PDE 举例 是二维的 是一维的 是一维的 是一维的 1. 2. 3. 4. PDE维数： 是指方程中出现的空间坐标的个数。 定常和非定常：如果方程中不出现时间 t, 则称方程为定常的, 否则称为非定常的. 是定常的 是非定常的 1. 2. 3. 4. 是非定常的 是非定常的 遵循牛顿第二定律： 作用在物体上的力=该物体的质量×该物体的加速度