复变函数论期末考试试卷及答案 Microsoft Word 文档.doc

西华师范大学数学与信息学院学生试卷 考试时间：2004年 月 日 专业：数学与应用数学?? 第 期? 共 页 考室___ 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 得分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 20**年春数20**级??班《实变函数论》期末试题样卷注意事项：1. 考试时间：闭卷120分钟；保持卷面整洁，试题满分68分，卷面２分。 2. 试卷纸与答题纸请勿撕开，交卷时请将试题卷与答题卷一起交，否则扣分。 3. 学生必须完整填写日期、班级、学号、姓名，无名卷不阅。 4. 学生必须签到，否则出现遗漏概不负责，并按擅自缺考处理。 一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15分，每小题3分） 非可数的无限集为c势集 开集的余集为闭集。 若mE=0，则E为可数集 若 |f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测 若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积 二、将正确答案填在空格内（共8分，每小题2分） ______可数集之并是可数集。A. 任意多个 B. c势个? C. 无穷多个 D 至多可数个 _____闭集之并交是闭集。A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个 可数个开集之交是_____A开集 B闭集 C F型集 D G型集 若 |f| 在E上可积，则_______A. f在E上可积 B. f 在E上可测 C. f 在E上有界 D. f在E上几乎处处有限 三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（共9分，每小题3分）。 四、证明下列集合等式（共6分，每小题3分）： S-S=(S-S) E[fa]=E[fa-] 五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。（8分） 六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)f(x) a.e于E，且|f|d|f|d，则对任意可测子集eE有? |f|d|f|d（7分） 七、计算下列各题：（每小题5分，共15分） sin(nx)d=? 设f(x)=求d=? 设f(x)= ???n=2,3,…, ?求d=? ? 20**年春数20**级??班《实变函数论》期末试题样卷解答 （供参考） 一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例) 非可数的无限集为c势集，（不正确！如：直线上的所有子集全体不可数，但其势大于c）。 开集的余集为闭集。（正确！教材已证的定理）。 若mE=0，则E为可数集（不正确！如contorP集外测度为0，但是C势集）。 若 |f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测（不正确！如） 若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积（不正确！如有界可测，但不可积） 二、将正确答案填在空格内 1． 至多可数个 可数集之并是可数集。A. 任意多个B.c势个 C. 无穷多个 D 至多可数个2.有限个 闭集之并交是闭集。A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个 3.可数个开集之交是 G型集A开集 B闭集 C? F型集 D? G型集 4.若 |f| 在E上可积，则 f在E上几乎处处有限 A. f在E上可积 B. f 在E上可测 C. f 在E上有界 D. f在E上几乎处处有限 三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（见教材，不赘述！）。 四、证明下列集合等式 1.S-S=(S-S) 解：=(S-S) 2。E[fa]=E[fa-] 证明： 所以，同理，??? 故 五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。 ? 证明：（分析法证明）设要证为开集，只须证明事实上，取时，自然有。?? 故为开集。无限个开集之交不一定是开集。反例：设，则=既不是开集，又不是闭集。 六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列， f(x)f(x) a.e于E， 且|f|d|f|d，则对任意可测子集eE有 |f|d|f|d证明：因为f(x)f(x) a.e于E，对任意由Fatou引理知|f|d≤|f|d而已知|f|d|f|d，则对任意由Fatou引理知：一方面|f|d= |f|d≤|f|d另一方面，|f|d= |f|d≤|f|d|f|d= |f|d= |f|d- |f|d|f|d故|f|d≤|f|d≤|f|d即|f|d= |f|d 七、计算下列各题： 1．sin(nx)d=?解：因为?sin(nx) 0于[0，1]第 3页? 共 4 页 ?? 且||≤1则由Lebesgue控制收敛定理知：sin(nx)d=sin(n