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如何厘清证明的般思路
如何厘清证明的一般思路 南京师大附中新城初中 叶旭山 解题比较 A B C D E 问题1:已知,如图,点E在△ABC的边BA的延长线上,AD∥BC ,∠B=∠C. 求证:AD平分∠EAC. 由AD∥BC ,不难推出, ∠EAD =∠B, ∠DAC =∠C. 再由∠B=∠C , 可得∠EAD = ∠DAC , 即AD平分∠EAC. 如何思考? 思路一: 课本第146页习题 思路提炼1: A B C D E 从已知,看可知,逐步推向未知. 图形中有些条件是显性的,而有些条件是比较隐蔽的,我们从已知条件入手,努力挖掘题目中的隐含条件,设法寻求已知与所求之间的关系,从而找到解题途径. 由因导果(综合法) 解题比较 A B C D E 问题2:已知,如图,点E在△ABC的边BA的延长线上,AD∥BC ,∠B=∠C. 求证:AD平分∠EAC. 要想证明AD平分∠EAC , 即证∠EAD = ∠DAC , 由AD∥BC , 可知∠EAD =∠B, ∠DAC =∠C. 只需证∠B=∠C. 如何思考? 思路二: 思路提炼2: A B C D E 从未知,看需知,逐步靠拢已知. 从结论入手逆求使它成立的条件,直到和已知条件有沟通为止,从而找到解题途径. 执果索因(分析法) 解题比较 问题3:已知,如图,点G在△ABC的边CA的延长线上,∠B=∠C,AD⊥BC ,GE∥AD交BC于点G. 求证: ∠ G =∠AFG . 由∠B=∠C, 可得AB = AC . 再由AD⊥BC , 可得∠BAD = ∠CAD. 如何思考? 思路三: 课本第149页习题改编 要证∠ G =∠AFG , 由GE∥AD ,可知 ∠ G =∠CAD , ∠ AFG =∠BAD, 需证∠BAD = ∠CAD. 如何思考? 思路三: 思路提炼3: 从已知,看可知;从未知,看需知;可知与需知无缝对接. 对于比较复杂的问题,我们可以将前面的两种思路合并使用,灵活处理,以利于缩短条件 与结论之间的距离,最后达到完全沟通. 两头凑(分析综合并用) 思路提炼: 从已知,看可知;从未知,看需知; 可知与需知无缝对接 两头凑(分析综合并用) 从已知,看可知,逐步推向未知 由因导果(综合法) 从未知,看需知,逐步靠拢已知 执果索因(分析法) 辨析反思 问题:如图,已知在△ABC中,BD平分∠ABC,CD平分△ABC的外角∠ACE,BD,CD相交于D . 求证:∠A=2∠D . 2 1 E D C B A 辨析反思 证明:∵BD平分∠ABC, ∴∠ABC=2∠1(角平分线定义) . 又∵CD平分∠ACE, ∴∠ACE=2∠2(角平分线定义) . 又∵ ∠ACE是△ABC的一个外角, ∴∠ACE=∠A+∠ABC(三角形的一个外角的等于不相邻的两个内角和) . ∴2∠2=∠A+2∠1 . ∴∠A=2∠2-2∠1=2(∠2-∠1) . 又∵ ∠2是△BDC的一个外角, ∴∠D=∠2-∠1 . ∴∠A=2∠D . 2 1 E D C B A 典型问题 问题: 已知:如图,AB∥CD,∠A=∠C. 求证:AE∥CF. 证法一 ∵ AB∥CD(已知), ∴ ∠A=∠DGE(两直线平行,同位角相等) ∵ ∠A=∠C(已知), ∴ ∠C=∠DGE(等量代换). ∴ AE∥CF(同位角相等,两直线平行). 课本第144页探索改编 典型问题 问题: 已知:如图,AB∥CD,∠A=∠C. 求证:AE∥CF. 证法二 ∵ AB∥CD(已知), ∴ ∠A=∠AGC(两直线平行,内错角相等) ∵ ∠A=∠C(已知), ∴ ∠C=∠AGC(等量代换). ∴ AE∥CF(内错角相等,两直线平行). 从已知,看可知;从未知,看需知; 可知与需知无缝对接 两头凑(分析综合并用) 从已知,看可知,逐步推向未知 由因导果(综合法) 从未知,看需知,逐步靠拢已知 执果索因(分析法) 谢谢大家!
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