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小波理论 傅里叶变换 在信号处理中，重要的方法之一是傅里叶变换，它架起了时间域和频率域之间的桥梁。傅里叶变换一直统治着线性时不变信号处理，最主要的原因是傅里叶变换所用的正弦波 是所有线性时不变算子的特征向量。 从物理意义上讲，傅里叶变换的实质是把f(t)波形分解为许多不同频率的正弦波的叠加和，这样就可以从时域转换到频域实现对信号的分析。 虽然傅里叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，但只能从信号的时域和频域分别观察，不能将二者结合起来。这是因为信号时域波形中不包含任何频域信息，而其傅里叶谱是信号的统计特性，它是信号整个时域内的积分，没有局部化分析信号的功能，所以不具备时域信息。这样信号分析中的一对矛盾产生了：时域和频域的局部化矛盾。 短时傅里叶变换 用傅里叶变换对非平衡信号进行分析，不能提供完全的信息，即虽然知道信号所含有的频率信息，但不能知道这些频率信息究竟出现在哪些时间段上。可见若要提取局部时间段的频域特征信息，傅里叶变换显得不太实用了。 为了研究信号在局部范围的频域特性，1946年Gabor提出了加窗Fourier变换（也称Gabor变换，简称STFT）。 短时傅里叶变换把信号划分成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。 窗口的时宽和频宽表示了时频分析中的分辨率，窗口越小，则分辨率越大；窗口越大，则分辨率越小。短时傅里叶变换的时间-频率分辨率的小格子对任何频率都是固定不变的，即一旦窗函数确定，窗口的形状和大小都将保持不变，与频率无关，若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数g(t)，这就使得短时傅里叶变换的时间-频率局域化性质受到了限制。 短时Fourier变换不能敏感地反映信号的突变，不能很好地刻画信息。 小波变换的时频窗口特性与短时傅里叶的时频窗口不一样，因为a不仅影响窗口在频率轴上的位置，也影响窗口的形状。这样小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，即在低频时小波变换的时间分辨率较低，而频率分辨率较高；而高频时小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低，这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点，所以被誉为数学显微镜。这便是它优于经典的傅里叶变换和短时傅里叶变换的地方。 “时频局域性” 图解Fourier变换的基（上）小波变换基（中）和时间采样基（下）的比较 傅里叶变换特征 短时傅里叶变换特征 小波变换特征 小波定义 小波（wavelet），即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为0的波形。 小波函数的确切定义为：设 为一平方可积函数，即 ，若其傅里叶变换满足条件： 则称 为一个基本小波或小波母函数，称上式为小波函数的可容许条件。 将小波母函数 进行伸缩和平移，就可以得到函数 : 式中，为伸缩因子，为平移因子，我们称 为依赖于参数 的小波基函数。由于尺度因子 和平移因子 是连续变化的值，因此我们称 为连续小波函数基。它们是由同一母函数 经伸缩和平移后得到的一组函数序列。 基本小波的伸缩及参数 和 对分析范围的控制(a)基本小波，（b） ， ,(c) 不变， , (d)分析范围 连续小波变换的定义 将任意L2(R)空间中的函数f(t)在小波基下展开，称这种展开为函数f(t)的连续小波变换CWT(Continue Wavelet Transform），表达式为： 小波变换也一种积分变换， 为小波变换系数。它不同于傅里叶变换的地方是，小波基具有尺度 和平移 两个参数，所以函数一经小波变换，就意味着将一个时间函数投影到二维的时间-尺度相平面上，这样有利于提取信号函数的某些本质特征。 一维连续小波的例子 Haar小波： Mexico草帽小波： Morlet小波： 离散小波变换 在实际应用中，为方便用计算机进行分析、处理，信号f(t)都要离散化为离散序列， 和 也必须离散化，成为离散小波变换，记为DWT（Discrete Wavelet Transform） 从数学的角度看，小波实际上是在特定空间内按照称之为小波的基函数（通常具有鲜明的物理意义）对数学表达式的展开与逼近。作为一种快速高效、高精度的近似方法，小波理论构成调和分析领域中傅里叶分析的重要发展。 与傅里叶变换由三角基函数构成相比，小波基函数大多为具有快速衰减、充分光滑、能量主要集中在一个局部区域的函数 经过伸缩与平移得到的函数集合