常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛普森公式。.ppt

* 在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛普森公式。 4.3 复合求积公式 问题1：由梯形、辛普森和柯特斯求积公式余项，分析随着求积节点数的增加，对应公式的精度是怎样变化？ 问题2：当n≥8时N—C求积公式还具有数值稳定性吗？可用增加求积节点数的方法来提高计算精度吗？ 4.3.1 复化梯形公式及其误差 将积分区间[a,b]划分为n等分,步长 ，求积节点为 ，在每个小区间 上应用梯形公式 求出积分值Ik,然后将它们累加求和,用 作为所求积分I的近似值。 记 称其为复化梯形公式。 当f(x)在[a,b]上有连续的二阶导数,在子区间 上梯形公式的余项已知为 在[a,b]上的余项 根据连续函数的介值定理知，存在 ，使 因此,余项 所以复化梯形公式是收敛的。 由于 的求积系数为正，由定理2知复合梯形公式是稳定的. 将积分区间[a,b]划分为n等分,记子区间 的中点为 在每个小区间上应用辛普森公式，则有 记 称为复化辛普森公式。 4.3.2????复化辛普森公式及其误差 类似于复化梯形公式余项的讨论，复化辛普森公式的求积余项为 显然，复化辛普森公式是收敛且稳定的. 复化求积公式的余项表明，只要被积函数f(x)及所涉及的各阶导数在[a,b]上连续，那么复化梯形公式、复化辛普森公式所得近似值 的余项和步长的关系依次为 、 、 。因此当h→0 (即n→∞)时, 都收敛于积分真值，且收敛速度一个比一个快。 例1 依次用n=8的复化梯形公式、n=4的复化辛普森公式计算 解:首先计算出所需各节点的函数值,n=8时， 由复化梯形公式可得如下计算公式： *