应力、应变的张量描述方程.ppt

1 第一章 张量初步及应力、应变基本方程 1.1 张量初步 1.2 一点的应力状态 1.3 最大(最小)剪应力 1.4 应力张量的分解 1.5 八面体应力、等效应力 1.6 应力圆和洛德(Lode)参数 1.7 应力空间 1.8 应力路径 1.9 应变张量的分解 1.10 应变空间与应变π平面 1.11 各种剪切应变间的关系 1.12 应力和应变的基本方程 1.1 张量初步 1.2 一点的应力状态 1.3 最大(最小)剪应力 1.5.4 应力的求解 谢谢！ 1.5.1 八面体应力 (1-19a) (1-19b) (1-19c) (1-19d) 1.5.2 八面体剪应力的方位角 1 八面体剪应力的方位可以通过它的方位 来确定。设应力主轴1、2、3在正八面体上的投影OA、 OB、 OC，则 便是八面体剪应力与OC的反方向OD之间的夹角。 2 3 O A B C O D 图1.8 八面体剪应力方位角 O 3 C O γ 同理： ； 由于 (1-20) O ，故 于是，由式(1-20)可得： 即： (1-21) 一点的应力状态可以用主应力 来表示，也可以用另外三个量来表示，即八面体正应力 ，八面体剪应力 以及八面体剪应力的方位角 。 （1-22） 1.5.3 应力强度 (1)应力强度又称等效应力或广义剪应力，用 表示。 材料处于单向拉伸应力状态时， ， ； 常规三轴试验， ， ；纯剪作用时， (2)纯剪应力又称剪应力强度，用 表示。 （1-23） 纯剪时： 1.6 应力圆和洛德(Lode)参数 通过某点各个微分面上的法向应力 和剪应力 都可以由应力摩尔圆相应点的坐标来表示。设该点坐标轴方向与主应力方向一致，微分面法线方向余弦为 ，于是有： 1.6.1 应力圆 （1-24） 于是有： 因为 ，而且这些等式的左边部分皆为正，所以应该有： （1-25） 经过化简后得： （1-26） 图1.9 应力摩尔圆 1.6.2 应力椭球 图1.10 应力椭球 取坐标轴方向与主应力方向一致，微分面法线方向余弦为 ，于是 ,进一步有： （1-27） 1.6.3 Lode (罗德)系数和Lode角 o A o1 o2 o3 C B （1-28） 图1.11 应力摩尔圆 如果一点的主应力之间的比值有了改变，则应力摩尔圆的三个直径之间的比例也随之改变。这种情况相当于应力偏张量的形式有了改变。为了描述应力偏张量的形式，可以应用Lode(1925)提出的系数，通常称为Lode参数。 即图中的 O2C与O2B之比。 （1-29） Lode参数界于-1和1 之间，即 纯拉时， 纯剪时， 纯压时， O （1-30） 图1.12 注意， 均为负值，常规三轴压缩试验时， 常规三轴伸长(拉伸)试验时， 在岩土塑性理论中，常以 或( )来表示应力状态。 常规三轴压缩( ) 常规三轴拉伸( ) 在岩土相关的课程中，往往以压为正。 (1-32) (1-31) 主应力空间与?平面 等顷线 ?平面 应力点 等倾线：在主应力空间，通过原点与三条坐标轴成相同夹角的直线，又称主对角线。 1.7 应力空间 π平面：与等倾线垂直的平面，其方程为 (1-33) 子午面：在主应力空间，包括等倾线的平面。 一个应力状态可以用应力空间中的一个点表示，或用该点与坐标原点形成的矢量来表示，该点叫应力点，该矢量叫应力矢量。 图1.13 应力空间 OP在应力空间等倾线上的投影为OQ，则 ?平面上剪应力： (1-34) ?平面上主应力： (1-35) 由于?平面上只有 ，而且 本身只与应力偏量有关，因此?平面又叫作偏量平面。 图1.15主应力在?平面上的投影 图1.14 ??的模与方位角(Lode角) 如图1.15所示，将应力 向 ?平面作投影，相应地得到 ，在?平面内取坐标系oxy，其中y轴方向与 在?平面上的投影一致，如图1.14所示。OP与x轴的夹角就是Lode角。 (1-36a) (1-36b)