次正规子群对有限群可解性的影响.doc

次正规子群对有限群可解性的影响 苏跃斌 , 王坤仁 (四川师范大学 数学与软件科学学院 , 四川 成都 610066 ) α 摘要 :研究了次正规子群对有限群结构的影响 ,得到了有限可解群的若干充分条件 ,证明了 3 2极大子群 皆次正规的有限群的分类定理 :设 G是一个有限群 , 则 G的极大子群皆次正规的充要条件是 G为下列二型 群之一 : ( 1 ) 幂零群 ; ( 2 ) G有一个正规的极大子群 M , 并且下列情况之一成立 : ( i) M 是幂零群; ( ii) M 是 p q阶的 p2基本群 , 即 M 是 Sylow p2子群正规的内幂零群. 关键词 :次正规子群 ; 可解 ; n 2极大子群 中图分类号 : O152. 1 文献标识码 : A 文章编号 : 100128395 ( 2007) 03 20309 204 次正规子群是本文的核心概念. 设 G是有限群 , 极小单群.  1 2 α1 α2 αs H ≤G,称 H为 G的次正规子群 ,并记作 H D D G, 如果 引理 1. 5[ 4 ] 设 | G | = p p ps . 若 A n ( G) H在 G的某个次正规列中出现. M ·G表示 M 是 G的 一个极大子群. 称群的子群 H为 G的 n 2极大子群 ,如 = { 1 } , 则 : ( 1 ) n ≤ 3 时 , ρ s  αi = n; i = 1 s i 果 G有一个极大子群链 : H = Gn ·Gn - 1 · ·G1 ( 2 ) n ≥ 4 且 G是可解群时 , ρ i = 1α = n. ·G0 = G. 令 A n ( G) 表示 G的 n 2极大子群的集合. 引理 1. 6 [ 4 ] 若 A 4 ( G) = ?或 A 8 ( G) = ?, 所有术语都是标准的 ,参见文 [ 1 ]. 1 次正规子群的性质及相关引理 引理 1. 1[ 2 ] 次正规子群的 3 个性质 : ( 1 ) 若 N ≤ H ≤ G, 且 N D D G, 则 N D D H; ( 2 ) 若 N D G, 且 N 1 D D G, 则 N 1 N /N D D G /N ; ( 3 ) 若 H D D G, p ∈π ( G) , 则对任意 Gp ∈ Sylp ( G) . 有 H ∩ Gp ∈ Sylp ( H ) . 特 别 地 , 若 Gp D D G, 则 Gp D G. 引理 1. 2 设 G是有限群 , P ∈ Sylp ( G) . 若有 H ·P 使 H D D G, 则 H D G或 P D G. 证 明 因 H D D G, 故 有 次 正 规 群 列 : H D H1 D H2 D D Hn = G. 设 P D / G. 因 H D H1 , 所以 H ≤O p ( H1 ) . 又因为 P不正规于 G, H ·P, 且 P ∈ Sylp ( G) , 则 H = O p ( H1 ) , 由此 H cha rH1 D H2 , 所以 H D H2 . 由关于 lG ( H ) 地归纳法知 H D G. 引理 1. 3 H 是 G的 H a ll子群. ( 1 ) ?? H D D G, 则 H D G; ( 2 ) 若 M ·H, 且 M D D G, 则 M D G或 H D G. 引理 1. 4[ 3 ] 若 G是内可解群 , 则 G /Φ ( G) 为 则 G是可解的. 2 主要结果 定理 1 有限群 G有一个极大子群 M , 其每个 Sylow 2子群均在 G 中次正规的充要条件是或 G 幂 零 , 或 G为幂零群被素数阶群的扩张. 证明 充分性 若 G是幂零群 , 结论是显然 的. 若 G是幂零群被素数阶群的扩张 , 则 M 是 G 的 极大子群 , 并且 M 的每个 Sylow 2子群均在 G中次正 规 , 所以此时结论成立. 必要性 假设 G不是幂零群 , 下面分 3步证明 结论. ( 1 ) M 是幂零群. 由引理 1. 1 知 M 的每个 Sylow 2子群均在 M 中次正规 , 再由引理 1. 1知 M 的 每个 Sylow 2子群均在 M 中正规 , 所以 M 是幂零群. ( 2 ) G是可解群. 对 | G | 用归纳法. 设 M 2 ∈ Syl2 (M ) . 由假设有 M 2 D D G. 若 M 2