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《比的基本性质》案例分析 扶行 王亚军 数学概念是对客观事物的数量关系、空间形式或结构关系的特征概括，是对一类数学对象的本质属性的反映。小学数学中有大量的概念，它是数学基础知识的重要组成部分，也是学生进行计算和解答应用题的依据。波利亚指出：学习最好的途径是自己去发现。学生如能在教师创设的情景中主动地建构概念、应用概念,那么在获得概念的同时还能培养他们的探究意识。 （1）填空。①5÷4＝15÷（　　）＝（　　）÷24 ②　 学生完成后，师问：你们是运用什么知识来解答这两道题的？ 生：第①小题运用的是商不变的性质：在除法里，被除数和除数同时乘或者除以相同的数(零除外），它们的商不变。第②小题运用的是分数的基本性质：在分数中，分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(零除外），分数的大小不变。 2）师：请同学们说说比与除法、分数的关系。 师：根据比与除法、分数的关系。你能把填空题①②小题改成比的形式吗？ 生：①5：4＝15：12＝30：24 2：3＝4：6＝8：12 生1：在第一组比中，我发现第二个比15：12的前项和后项都是第一个比5：4的3倍，第三个比30：24的前项和后项都是第一个比 5：4的6倍，三个比的比值都是1 生2：在第一组比中，我还发现如果把第三个比30：24的前项和后项同时缩小2倍就变成了第二个比15：12，如果把第三个比的前项和后项同时缩小6倍就变成了第一个比5：4。三个比的比值都的1 生3：在第二组比中，我发现如果把第一个比2：3的前项和后项同时乘以2，就变成了第二个比4：6，如果把第一个比的前项和后项同时乘4，就变成了第三个比8：12。如果把第三个比8：12的前项和后项同时除以2，就变成了第二个比4：6，如果把第三个比的前项和后项同时除以4，就变成了第一个比2：3。它们的比值都是 …… 师：请同学们联系起商不变的性质和分数的基本性质，根据刚才发现的规律，能不能概括出比的基本性质，并自己举例验证一下。学习小组的同学先交流意见，然后汇报。 生：比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。比如5：8的前项和后同时乘10，等于50：80，这两个比的比值都是 师着重引导学生理解关健词：同时、相同的数、0除外。 生：应用比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。 师：你是怎样理解最简单的整数比？ 生：分子和分母是互质数的比就是最简单的整数比。 师出示题目，让学生尝试练习。 化简比：① 48：36　　② 0.25：2 学生汇报：每题均有几种不同的化简方法。如下： （1）48：36＝（48÷12）：（36÷12）＝4：3 48：36＝（48÷6）：（36÷6）＝8：6＝4：3 48：36＝24：18＝12：9＝4：3 2）12）：（12）=9：10　　　　　　　 　 ：　=（24）：（24）＝18：20＝9：10 9：10 3）0.25：2＝（0.25×100）：（2×100）＝25：200＝1：8 0.25：2＝（0.25 × 4）：（2×4）＝1：8 接下来是进行综合性练习，有基础题，有提高题。 二、案例反思 学生在学习新知识时，总是要利用他己有的知识、技能、经验。抓住新旧知识的联系，设计好复习题，能使学生己有的知识、技能、经验得到进一步巩固和充实，又能激励学生应用迁移类推规律主动探索新知。本课中，教师抓住了新旧知识的生长点，设计了铺垫练习，为实现知识的正迁移作好准备。教师先是用填空题的训练，给学生复习了商不变的性质和分数的基本性质，然后引导学生联系比与除法、分数的关系要求学生把填空题两小题改成比的形式。这样设计复习题，有助于学生通过寻求比与除法、分数的关系建构比的基本性质这一概念，符合学生认识事物的规律和迁移规律。 二、提供丰富的感性材料，建构概念的表象。 从具体到抽象，从感性认识上升到理性认识，这是人类认识发展的基本规律。小学数学学习作为一种特殊的认识过程更是离不开感知，感知对小学生获取数学知识具有特别重要的作用。学生要建构概念必须依赖于具体的感性材料，使学生在具体的图形或数字间寻找内在的规律。学生通过对感性材料的操作或观察获得感性认识，形成概念的表象。本课中，教师抓住比与除法、分数的关系把一组除法等式和一组分数等式改成二组比的等式，引导学生观察①5：4＝15：12＝30：24 ②2：3＝4：6＝8：12这两组等式，通过寻求等式的内在规律，使学生初步形成概念的表象。 数学建构主义学习的实质是：主体通过对客体的思维构造，在心理上建构客体的意义。所谓“思维构造”是指主体在多方位地把新知识与多方面的各种因素建立联系的