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第三节　一阶微分方程应用举例A step differential equation application example * * * 第三节　一阶微分方程应用举例 　　例 1 设曲线过点 (1, 1)，且其上任意点 P 的切线在 y 轴上截距是切点纵坐标的三倍，求此曲线方程. 　　解　设所求的曲线方程为 y = y(x)，P(x, y) 为其上任意点， 　　　 则过点 P 的切线方程为 其中 (X, Y) 是切线上动点,(x, y) 是曲线上任意固定的点. x y O P(x, y) L 令 X = 0 ，得切线在 y 轴上的截距为 Y = y - xy?， y - xy? = 3y， 这是一阶线性齐次方程，其通解为 因曲线过点 (1, 1). 代入方程，得 C = 1. 　　　　　　　　　　　　　　　　　所以曲线方程为 由题意得 　　例 2 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与他下落的速度成正比 (比例系数为常数 k 0)， 起跳时的速度为 0. 求下落的速度与时间之间的函数关系. 解　设下落速度为 v(t)， 　　 则加速度 a = v ?(t)运动，物体所受的外力为： F = mg – kv， 于是，由牛顿第二定律可得 mg - kv = mv ?， 又由题意得初始条件 v |t = 0 = 0， 可见，初值问题 是一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为 由 v(0) = 0 得 C = mg. 即为所求的函数关系. 所以，特解 例 3 抛物线的光学性质 实例: 车灯的反射镜面---旋转抛物面 解 如图 得微分方程 由夹角正切公式得 分离变量 积分得 平方化简得 抛物线 例 4 假设一高温物体在冷却剂中均匀地冷却， 　　　　　　　　　　　　　　　　　 物体的初始温度为 200?C ，且由 200?C 冷却到 100?C 需要 40 s. 已知(冷却定律)：冷却速率与物体和介质的温度差成正比. 其介质(冷却剂)温度始终保持为 10?C， 并求物体温度降到 20?C 所需的时间. 解　设物体温度为 q = q (t)， 则物体的冷却速率为 q ?(t) . 由冷却定律可得 q (t) 应满足的微分方程为 q ?(t) = - k[q (t) -10] (k 0) ， 试求物体温度 q 与时间 t 的函数关系, 另由题意知 q(t) 所满足的初始条件为 q |t = 0 = 200. 于是，初值问题是 解此初值问题，得特解 q(t) = 10 + 190e-kt . 因此，得 由于 ?(40) = 100， 即 100 = 10 + 190e-40k ， 最后，将 q = 20 代入上式， 即物体温度降到 20?C 大约需要 2 min38 s . 从而得物体温度 q 与时间 t 的函数关系为 并解出 * *