平面曲线测设的理论及应用.pdf

第23卷 第2期 资源环境与工程 2009年 4月 ResourcesEnvironment＆ Engineering 平面 曲线测设的理论及应用 刘仁钊 ，伍吉仓 (1．湖北国土资源职业学院，湖北 荆州 434000；2．同济大学，上海 200092) 摘 要 ：作为平面曲线统一数学模型，从微分几何的角度在理论上详细讨论了缓和曲线的数学特征 ，推导 出曲线上任意一点的曲率、切线方向和位置坐标的计算式，其结果与此前相关文献是一致的，但思路更清 晰。作为特例，还讨论了直线、圆曲线和完整的缓和 曲线的曲率特性，研 究了数值积分的坐标计算方法。 具有重要的理论研究和实用意义。 关键词 ：缓和曲线；曲率；曲率变化率；数值积分 中图分类号：P227；TB113 文献标识码：A 文章编号：1671—1211(2009)02—0164—04 为了统一起见，本文缓和曲线是按照文献 [7]的定 0 引言 义，即缓和曲线既指连接直线与圆曲线之间的过渡曲线， 理论上线路工程的运营效率直线是最高的，但 由 同时也指连接两个不同半径圆曲线之间的过渡曲线 。前 于受地形、地质等因素的影响或其它必要因素的考虑， 者是特殊的缓和曲线，有的称其为完整的缓和曲线；后者 经常要改变方 向，需要在两直线之间插入平面 曲线把 是一般缓和曲线，即文献[5]所指的不完整缓和曲线。 它们连接起来。线路工程设计采用的平面曲线常有单 1．1 缓和曲线的曲率和曲率变化率 一 圆曲线、综合曲线(圆曲线与缓和曲线)、复曲线(圆 缓和曲线的特点是：曲线上任意一点的曲率处处 曲线与圆曲线)、回头曲线、螺旋线和反向曲线。现行 都在变化。按照线路工程设计要求，缓和曲线上的曲 的教材内容在曲线测设这一章中，仍按不同线型分开讲 率变化是呈线性的，或者说曲率变化率为常数。缓和 授，公式独立推导，不便于统一数学处理。从数学上看， 曲线的曲率描述了在水平平面内曲线的弯 曲程度。 不论上述哪一种曲线(甚至包括直线)，都可以用缓和曲 在缓和曲线上取一微分段 ，其对应的曲率变化 线作为其统一的数学模型。文献 [1]最早提出了将直 为 ，由定义 知，曲率变化率 k为： 线、圆曲线、缓和曲线线路 中桩坐标的计算用一个统一 k=dtJ／k3／o ((11)) 的数学公式来表达，从形式上建立了道路坐标计算的通 = 用模型；文献[2—4]在此基础上作了进一步探讨，并对 对照图1，设起点 A和任意点 i的曲率分别为 k 数值积分进行了有益的探索。文献[5]则从理论上将不 完整缓和曲线(即曲率半径从某一值变化到另一值的缓 和 k。，其相应的半径为P = 和P=_1_，且 i点与A点 和曲线)作为统一数学模型，将复杂线路的组合化分为 曲率变化均匀的单个单元(线元)，建立 了统一的计算模 之间的弧长为 Z，考虑到 曲