弹性地层中井内单极源声场.pdf

第8卷 第4期 江 汉 石 油 科 技 VOL．8NO．4 1998年 12月 JIANGHANPETROLEUMSCIENCEANDTECHNOLOGY DEC．1998 弹性地层中井内单极源声场 李鹤升 (江汉石油管理局测井究院所) 摘 要 详细叙述弹性均匀地层中单极声源声场的建立过程。从建立外力、应 力、应变、位移之关系开始推演运动方程；将位移矢量用标量的梯度与矢量的旋度之 和表示后，得到了波动方程；在极坐标下用分离变量法解波动方程得到贝塞尔函数； 在推演出位移和应力的公式后，列出边界条件，最后给出地层中声场的表达式以及频 散方程。 主题词 声波测井 力分析 应力场 波动方程 贝塞尔函数 亨克尔函数 矩 阵 声波理论对于确定测井仪器参数、分析波形数据、进行声学实验，以及理论模拟都有十分重 要的作用，但是数学深奥，涉及面广，不易弄清楚。笔者以多年之积累，贡献于大家，以减读者辛 劳。 (一)牛顿第二定律，外力、位移、应力、应变 要建立运动方程，首先应建立外力与位移、外力与应力、应力与应变、应变与位移之间的关 系。最后归结为位移方程。 1．牛顿第二定律：外力与位移 任何介质的体积元在外力F=F +F +Fz三的作用下，其运动都受牛顿第二定律的支 配。设单位体积元的质量是ID，质点位移是U=L +u + 嚎【 则有 F=Fx$ -b+Fz；=lD P P lD (1) 2．外力与应力 波动过程中，声压作用于体积元，体积元所受外力与应力的关系为； x=百 ++百 ++ Fy= +十 +十 z= +十 +十 2) 3．应力与应变 取一足够小的体积元，其为边长等于 a的立方体，有9个应力组成应力张量：{ }= {faXEaXy ] caleX0yyayz}其中下标，表示应力由i平面指向轴方向。根据力矩平衡条件，有 f： aZY 』 故独立的应力只有6个。其中 ，ayy，aZZ称法向应力，aXy，aYZ， 称切向应力，它们是时间 和地点的函数，习惯上把它们写成矩阵形式：=[axxaYWZZaX~XZayz]T，体积元在应力 作用下 第4期 奎鹤升：弹性地层中井内单极源声场 21． 产生应变e，这二者之间的系数矩阵反映了介质本身固有的弹性性能。 盟咖 哪肼澎 +2 O 0 O ．=L +2 0 0 0 I=L +2 O 0 0 0 0 0 0 0 0 O 0 0 11 0 0 0 0 0 0 艇 azg eXX (+teyy+ezz)-+=-22~暑ez／z=U+·22fte～zgf} ㈤ ， 哪 I~exy lzexz ayZ l~evz J 默 哪肼您 xx ，yy ，ezz (4) 8Uv eXy --~-eyx - + 一 = = + ～ = y= + 戤 + e + = 等+ + = ·= 2 8 U lD 2x