1.6 矢量场的积分定理(20030428教案).doc

1.6 矢量场的积分定理 1.6.1 高斯散度定理 高斯散度定理：在闭面S上及S所包围的区域V内，只要矢量场F(r)有一阶连续偏导数，则F(r)在S上的闭合面积分等于它的散度在V内的体积分 (1.6.1) 证明：将闭面S所包围的区域V 划分成N个体积元，如图所示。取体积元用(Vi表示，相应的闭合表面则为Si。于是有 或写成 。 除含部分外表面S的那些面元之外，其它处于V内的每一内部面元都是邻体积元的公共面元。图中所示的1、2en1和en2是反向的，它使得该公共面元上F的元通量在求和时将互相抵消。当取N→(、→0时，总通量仅为所有外表面面元上元通量之和，即外表面S上的闭合面通量，可知上式的极限 1.6.2 斯托克斯定理 斯托克斯定理：矢量F(r)沿任一闭合路径l的环量，等于F(r)的旋度在以该闭合路径界为边界的任一曲面S上的通量 (1.6.2) 式中应保证：（1）l的循环方向与的方向应符合右手定则；（2）F(r)在l和S上应有连续的一阶偏导数。 有关证明，请大家参看讲义。 应用斯托克斯定理，可按需要实现两种积分运算之间的相互转换。 1.6.3两积分定理的应用举例 1. 格林公式 两任意标量场、在所区域V内有连续的二阶偏导数，在V的闭合边界S上应有连续的一阶偏导数。令矢量场 由高斯定理 因为 于是得格林第一公式 （1.6.3） 式中：是(在S面上的外法向导数。 将上式中( 和( 的位置交换，得 （1.6.4） 式中：是( 在S上的外法向导数。 将（1.6.3）式减去（1.6.4）式，得格林第二公式 （1.6.5） 2. 证明积分恒等式 例1. 证明积分恒等式 证明：以高斯散度定理证明。用任意常矢C点乘其两边，左端得 右端得 可知 基于常矢C的任意性，上式成立的前提必然是 证毕 例2 利用高斯散度定理和斯托克斯定理证明矢量恒等式 解：在任意闭面S及其包围的区域V内，设矢量有连续的一阶偏导数，则 用一平面将图示闭面S剖分为S1、S2两个开面，将界定它们的围线分开画成了l1和l2，二者的循行方向应分别与en符合右手定则。由斯托克斯定理 故而 由于V的任意性，必有 en1 en2 2 1 V l2 l1 S2 S1 en en (b) (a) 2 1 V S