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1.6 矢量场的积分定理(20030428教案)
1.6 矢量场的积分定理
1.6.1 高斯散度定理
高斯散度定理:在闭面S上及S所包围的区域V内,只要矢量场F(r)有一阶连续偏导数,则F(r)在S上的闭合面积分等于它的散度在V内的体积分
(1.6.1)
证明:将闭面S所包围的区域V 划分成N个体积元,如图所示。取体积元用(Vi表示,相应的闭合表面则为Si。于是有
或写成
。
除含部分外表面S的那些面元之外,其它处于V内的每一内部面元都是邻体积元的公共面元。图中所示的1、2en1和en2是反向的,它使得该公共面元上F的元通量在求和时将互相抵消。当取N→(、→0时,总通量仅为所有外表面面元上元通量之和,即外表面S上的闭合面通量,可知上式的极限
1.6.2 斯托克斯定理
斯托克斯定理:矢量F(r)沿任一闭合路径l的环量,等于F(r)的旋度在以该闭合路径界为边界的任一曲面S上的通量
(1.6.2)
式中应保证:(1)l的循环方向与的方向应符合右手定则;(2)F(r)在l和S上应有连续的一阶偏导数。
有关证明,请大家参看讲义。
应用斯托克斯定理,可按需要实现两种积分运算之间的相互转换。
1.6.3两积分定理的应用举例
1. 格林公式
两任意标量场、在所区域V内有连续的二阶偏导数,在V的闭合边界S上应有连续的一阶偏导数。令矢量场
由高斯定理
因为
于是得格林第一公式
(1.6.3)
式中:是(在S面上的外法向导数。
将上式中( 和( 的位置交换,得
(1.6.4)
式中:是( 在S上的外法向导数。
将(1.6.3)式减去(1.6.4)式,得格林第二公式
(1.6.5)
2. 证明积分恒等式
例1. 证明积分恒等式
证明:以高斯散度定理证明。用任意常矢C点乘其两边,左端得
右端得
可知
基于常矢C的任意性,上式成立的前提必然是
证毕
例2 利用高斯散度定理和斯托克斯定理证明矢量恒等式
解:在任意闭面S及其包围的区域V内,设矢量有连续的一阶偏导数,则
用一平面将图示闭面S剖分为S1、S2两个开面,将界定它们的围线分开画成了l1和l2,二者的循行方向应分别与en符合右手定则。由斯托克斯定理
故而
由于V的任意性,必有
en1
en2
2
1
V
l2
l1
S2
S1
en
en
(b)
(a)
2
1
V
S
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