1.6连续型随机变量及其分布.ppt

1.6 连续型随机变量一、概率密度 * * 离散型随机变量的统计特征可以用分布律描述，非离散型的该如何描述？ 如：熊猫彩电的寿命X是一个随机变量，对消费者来说，你是否在意 {X5年}还是{X5年零1分钟} 用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？ a b 1. 定义 对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-?x+?)，使对任意实数x，都有 则称X为连续型随机变量， f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数. 常记为 X～ f(x) , (-?x+?) 2. 密度函数的性质 (1) 非负性 f(x)?0，(-?x?)； (2)归一性 性质(1)、(2)是密度函数的充要性质； 设随机变量X的概率密度为 求常数a. (3) 若x是f(x)的连续点，则 设随机变量X的分布函数为 求f(x) 随机变量 X 的分布函数F(x）于密度函数的关系： 如果随机变量X的密度函数为f(x), 分布函数为F(x), 则对任意的a，b（a＜b），有 这一结果的几何意义为：X 落在（a，b］中的概率恰 好等于在区间（a，b］上由曲线 y＝p（x）形成的曲边梯 形的面积（图中阴影部分）。 而f(x)的基本性质(2)表明:整个曲线 y＝f(x)以下( x 轴以上)的面积为 1。 注意: 对于连续型r.v.X , P(X = a) = 0 其中 a 是随机变量 X 的一个可能的取值 强调 概率为0 的事件未必不发生 例 1.已知随机变量X的概率密度为 (1)求X的分布函数F(x); (2)求P{0.5X1.5)} 设随机变量X的分布函数为 (1)求P{X2},P{0X3},P{2Xe-0.1}. (2)求概率密度f(x) 1. 均匀分布 若X～f(x)＝ 则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b) X在(a, b)内服从均匀分布,对任意实数c, d (acdb)，都有 二、 几个常用的连续型分布 x f ( x) a b x F( x) b a 15 45 解：设A—乘客候车时间超过10分钟 X—乘客于某时X分钟到达，则X?U(0,60) 例2.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率 进行大量数值计算时, 若在小数点后第 k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作 服从 的 r.v. 随机变量 其它应用场合 2. 指数分布 若 X～ 则称X服从参数为?0的指数分布，记作X ~Ｅ(?), 其分布函数为 1 x F( x) 0 x f ( x) 0 对于任意的 0 a b, 应用场合 用指数分布描述的实例有： 随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间 无线电元件的寿命 动物的寿命 指数分布 常作为各种“寿命” 分布的近似 例3 .电子元件的寿命X(年）服从参数为0.5的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？ 解 若 X ~Ｅ(?),则 故又把指数分布称为“永远年轻”的分布 指数分布的“无记忆性” 事实上 命题 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。 3. 正态分布 炮弹弹落点距离发射点O 距离X。X的概率密度应该是什么形态？ 大炮发射点O A B 高尔顿钉板试验 其中 ?为实数， ?0 ，则称X服从参数为? ,?2的正态分布,记为N(?, ?2)，可表为X～N(?, ?2). 若随机变量 (1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=?对称； f(?)＝maxf(x)＝ . 正态分布有两个特性： (2) ?的大小直接影响概率的分布。 ?越大，曲线越平坦，?越小，曲线越陡峻。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布 可用正态变量描述的实例极多： 各种测量的误差； 人体的生理特征； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量； 海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度； 热噪声电流强度； 学生的考试成绩； 4.标准正态分布 参数?＝0，?2＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0, 1)。