概率论与数理统计之连续型随机变量.ppt

* 例6 设随机变量X ~ U( 0, 5 ) , 求方程4 r2 + 4X r + X + 2 = 0 有实根的概率 p . 解：p = P{ ( 4 X )2 – 4×4 ( X+ 2 ) ≥ 0 } = P{ X2 – (X + 2)≥0 } = P{ ( X – 2 )( X + 1 )≥0 } # = P({ X≤ －1 } ∪ { X≥ 2 }) = P{ X≤ －1 } + P{ X ≥ 2 } = P{ 2 ≤ X ≤ 5 } 5 － 2 5 = 3 5 = * 例7.某电子元件发生故障则不可修复，它的寿命X服从 参数为λ=1/2000的指数分布. 它工作了1000小时后能再工作1000小时的概率为多少？ 解 P{X≥2000︱X ≥1000 }= P{X ≥1000 } =1－P{X＜1000}=1－F(1000) =1－[1－e－1000/2000]=e-1/2. 其中 # * 例8 已知随机变量X ~ N( m , s 2 )，证明 * 特别地，有 # P{| X - m | s } = 2F( 1 ) - 1 = 0.6826 P{| X - m | 2s } = 2F( 2 ) - 1 = 0.9544 P{| X - m | 3s } = 2F( 3 ) - 1 = 0.9974 表明X 以很大的概率密集在 x = m 的附近. 3σ原则 * 例9 设X ~ N( 10, 22 )，求a 使 P{ | X – 10 | a } 解 # * 例10 某种电池的寿命是X 小时,X ~ N( 300, 352 )，计算 (1) p1 = P{ X 335 } = 1 －P{ X ≤ 335 } 解 = 1 － 0.8413 = 0.1587 (1) 电池寿命在335小时以上的概率p1 ? (2) 求允许时限x ,使电池寿命在 (300 – x ,300 + x)内的概率不小于0.9. * (2) 0.9 ≤ P{ 300 – x X 300 + x } x≥ 57.75 # 电子科技大学 连续型随机变量 * §2.3 连续型随机变量 一、概率密度函数 例子 定义 设随机变量X 的分布函数为F( x ), 若存在非负函数 f ( x ), 对于任意实数 x , 均有 称随机变量X 是连续型随机变量,称函数 f ( x ) 为X 的概率密度函数. 射击试验 仪器寿命问题 * 注 (1) 连续型随机变量X 的分布函数是连续函数. 即F(x )在x 处左连续，故F(x )在x 处连续. 证 由分布函数的性质可知，F(x )在x 处右连续， 对于Dx 0, * （2）X 是连续型随机变量，则对任意实数x0 ∈R，有 P{ X = x0 } = 0 令Dx → 0，由F(x )的连续性有 * 故 P{ X = x0 } = 0. （3）P( f ) = 0, 但是其逆不真. 概率密度函数的性质 若函数f ( x )满足上述(1)和(2),则它必是某个随机变量的概率密度. 0 ≤ P{ X = x0 } = F(x)-F(x - Dx) → 0 概率曲线下 总面积为1 * * (4) 若f ( x )在点x 处连续,则有 证明 性质的应用实例 概率密度判定 函数参数确定 概率的计算 * 二、 均匀分布和指数分布 (1) 均匀分布 设随机变量X 的概率密度函数为 称随机变量X 在区间 (a, b ) 上服从均匀分布,记为X ~ U( a, b ). 特点1 随机变量X 概率为1在 (a, b ) 上取值； * 特点2 随机变量X落在 (a, b ) 的子区间的概率与位置无关，仅与长度成正比. o a b 即对于( c, c + l ) (a, b ) ，有 ∪ c c+l d d+l * 应用 (1) 大量试验服从均匀分布; (2) 是计算机摸拟的基础. 例如 参见例子 (2) 指数分布 设随机变量X的概率密度函数为 称随机变量X 服从参数为 l 的指数分布. ( l 0) * 特点 指数分布具有无后效性.即有(P51例2.3.4） P{ X t + s | X t } = P{ X s } 参见例子 三、正态分布(GAUSS 分布) 设随机变量X 的概率密度函数为 R x ∈ j( x; m, s2 ) =