专题六尖子四边形中的相似问题专题答案.docx

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专题六尖子四边形中的相似问题专题答案

四边形中的相似问题专题题型一:平行四边形中的相似问题例14.(2006?威海)已知:如图①,在?ABCD中,O为对角线BD的中点.过O的直线MN交直线AB于点M,交直线CD于点N;过O的另一条直线PQ交直线AD于点P,交直线BC于点Q,连接PN、MQ.(1)试证明△PON与△QOM全等;(2)若点O为直线BD上任意一点,其他条件不变,则△PON与△QOM又有怎样的关系?试就点O在图②所示的位置,画出图形,证明你的猜想;(3)若点O为直线BD上任意一点(不与点B、D重合),设OD:OB=k,PN=x,MQ=y,则y与x之间的函数关系式为 y= .考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质.305660 专题:综合题.分析:(1)根据平行四边形的性质容易得到全等条件证明△DOP≌△BOQ,△PON≌△QOM,然后利用全等三角形的性质得到PO=QO,MO=NO,然后再证明△PON≌△QOM就可以解决问题;(2)点O为直线BD上任意一点,则△MOQ∽△NOP.根据AP∥BQ,BM∥CN可以得到比例线段,而∠NOP=∠MOQ,可以证明△MOQ∽△NOP了;(3)根据(2)和已知可以得到,根据这个等式可以求出y与x之间的函数关系式.解答:(1)证明:在平行四边形ABCD中,AD∥BC,∴∠PDO=∠QBO.∵∠DOP=∠BOQ,DO=BO,∴△DOP≌△BOQ.∴PO=QO.(2分)同理MO=NO.∵∠PON=∠QOM,∴△PON≌△QOM.(4分)(2)解:画图.(5分)△MOQ∽△NOP.(6分)∵AP∥BQ,BM∥CN,∴OD:OB=OP:OQ,OD:OB=ON:OM.∴OP:OQ=ON:OM.(7分)∴∠NOP=∠MOQ.∴△MOQ∽△NOP.(8分)(3)解:根据(2)和已知可以得到,∴y=.(10分)点评:此题综合性比较强,把全等三角形,相似三角形放在平行四边形的背景下,综合利用这些知识来解题. 15.(2010?成都)已知:在菱形ABCD中,O是对角线BD上的一动点.(1)如图甲,P为线段BC上一点,连接PO并延长交AD于点Q,当O是BD的中点时,求证:OP=OQ;(2)如图乙,连接AO并延长,与DC交于点R,与BC的延长线交于点S.若AD=4,∠DCB=60°,BS=10,求AS和OR的长.考点:全等三角形的判定与性质;勾股定理;菱形的性质;相似三角形的判定与性质.305660 专题:综合题.分析:(1)求简单的线段相等,可证线段所在的三角形全等,即证△ODQ≌△OBP.(2)首先求AS的长,要通过构建直角三角形求解;过A作BC的垂线,设垂足为T,在Rt△ABT中,易证得∠ABT=∠DCB=60°,又已知了斜边AB的长,通过解直角三角形可求出AT、BT的长;进而可在Rt△ATS中,由勾股定理求出斜边AS的值;由于四边形ABCD是菱形,则AD∥BC,易证得△ADO∽△SBO,已知了AD、BS的长,根据相似三角形的对应边成比例线段可得出OA、OS的比例关系式,即可求出OA、OS的长;同理,可通过相似三角形△ADR和△SCR求得AR、RS的值;由OR=OS﹣RS即可求出OR的长.解答:(1)证明:∵ABCD为菱形,∴AD∥BC.∴∠OBP=∠ODQ∵O是BD的中点,∴OB=OD在△BOP和△DOQ中,∵∠OBP=∠ODQ,OB=OD,∠BOP=∠DOQ∴△BOP≌△DOQ(ASA)∴OP=OQ.(2)解:如图,过A作AT⊥BC,与CB的延长线交于T.∵ABCD是菱形,∠DCB=60°∴AB=AD=4,∠ABT=60°∴AT=ABsin60°=TB=ABcos60°=2∵BS=10,∴TS=TB+BS=12,∴AS=.∵AD∥BS,∴△AOD∽△SOB.∴,则,∴∵AS=,∴OS=AS=.同理可得△ARD∽△SRC.∴,则,∴,∴.∴OR=OS﹣RS=.(12分)点评:此题考查了菱形的性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质;(2)中能够正确的构建出直角三角形,求出AS的长是解答此题的关键.17.(2010?宁波)如图1在平面直角坐标系中,O是坐标原点,?ABCD的顶点A的坐标为(﹣2,0),点D的坐标为(0,2),点B在x轴的正半轴上,点E为线段AD的中点,过点E的直线l与x轴交于点F,与射线DC交于点G.(1)求∠DCB的度数;(2)连接OE,以OE所在直线为对称轴,△OEF经轴对称变换后得到△OEF,记直线EF与射线DC的交点为H.①如图2,当点G在点H的左侧时,求证:△DEG∽△DHE;②若△EHG的面积为3,请直接写出点F的坐标.考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定;平行四边形的性质;轴对称的性质.305660 专题:综合题;压轴题;数形结合;分类讨论.分析:(1)由于平行四边形的对

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