专题六尖子四边形中的相似问题专题答案.docx

四边形中的相似问题专题题型一：平行四边形中的相似问题例14．（2006?威海）已知：如图①，在?ABCD中，O为对角线BD的中点．过O的直线MN交直线AB于点M，交直线CD于点N；过O的另一条直线PQ交直线AD于点P，交直线BC于点Q，连接PN、MQ．（1）试证明△PON与△QOM全等；（2）若点O为直线BD上任意一点，其他条件不变，则△PON与△QOM又有怎样的关系？试就点O在图②所示的位置，画出图形，证明你的猜想；（3）若点O为直线BD上任意一点（不与点B、D重合），设OD：OB=k，PN=x，MQ=y，则y与x之间的函数关系式为　y=　．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．305660 专题：综合题．分析：（1）根据平行四边形的性质容易得到全等条件证明△DOP≌△BOQ，△PON≌△QOM，然后利用全等三角形的性质得到PO=QO，MO=NO，然后再证明△PON≌△QOM就可以解决问题；（2）点O为直线BD上任意一点，则△MOQ∽△NOP．根据AP∥BQ，BM∥CN可以得到比例线段，而∠NOP=∠MOQ，可以证明△MOQ∽△NOP了；（3）根据（2）和已知可以得到，根据这个等式可以求出y与x之间的函数关系式．解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠PDO=∠QBO．∵∠DOP=∠BOQ，DO=BO，∴△DOP≌△BOQ．∴PO=QO．（2分）同理MO=NO．∵∠PON=∠QOM，∴△PON≌△QOM．（4分）（2）解：画图．（5分）△MOQ∽△NOP．（6分）∵AP∥BQ，BM∥CN，∴OD：OB=OP：OQ，OD：OB=ON：OM．∴OP：OQ=ON：OM．（7分）∴∠NOP=∠MOQ．∴△MOQ∽△NOP．（8分）（3）解：根据（2）和已知可以得到，∴y=．（10分）点评：此题综合性比较强，把全等三角形，相似三角形放在平行四边形的背景下，综合利用这些知识来解题．　15．（2010?成都）已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点．（1）如图甲，P为线段BC上一点，连接PO并延长交AD于点Q，当O是BD的中点时，求证：OP=OQ；（2）如图乙，连接AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S．若AD=4，∠DCB=60°，BS=10，求AS和OR的长．考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定与性质．305660 专题：综合题．分析：（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ODQ≌△OBP．（2）首先求AS的长，要通过构建直角三角形求解；过A作BC的垂线，设垂足为T，在Rt△ABT中，易证得∠ABT=∠DCB=60°，又已知了斜边AB的长，通过解直角三角形可求出AT、BT的长；进而可在Rt△ATS中，由勾股定理求出斜边AS的值；由于四边形ABCD是菱形，则AD∥BC，易证得△ADO∽△SBO，已知了AD、BS的长，根据相似三角形的对应边成比例线段可得出OA、OS的比例关系式，即可求出OA、OS的长；同理，可通过相似三角形△ADR和△SCR求得AR、RS的值；由OR=OS﹣RS即可求出OR的长．解答：（1）证明：∵ABCD为菱形，∴AD∥BC．∴∠OBP=∠ODQ∵O是BD的中点，∴OB=OD在△BOP和△DOQ中，∵∠OBP=∠ODQ，OB=OD，∠BOP=∠DOQ∴△BOP≌△DOQ（ASA）∴OP=OQ．（2）解：如图，过A作AT⊥BC，与CB的延长线交于T．∵ABCD是菱形，∠DCB=60°∴AB=AD=4，∠ABT=60°∴AT=ABsin60°=TB=ABcos60°=2∵BS=10，∴TS=TB+BS=12，∴AS=．∵AD∥BS，∴△AOD∽△SOB．∴，则，∴∵AS=，∴OS=AS=．同理可得△ARD∽△SRC．∴，则，∴，∴．∴OR=OS﹣RS=．（12分）点评：此题考查了菱形的性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质；（2）中能够正确的构建出直角三角形，求出AS的长是解答此题的关键．17．（2010?宁波）如图1在平面直角坐标系中，O是坐标原点，?ABCD的顶点A的坐标为（﹣2，0），点D的坐标为（0，2），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G．（1）求∠DCB的度数；（2）连接OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF，记直线EF与射线DC的交点为H．①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；②若△EHG的面积为3，请直接写出点F的坐标．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；平行四边形的性质；轴对称的性质．305660 专题：综合题；压轴题；数形结合；分类讨论．分析：（1）由于平行四边形的对