1.1-1.2矢量概念、矢量加法.ppt

解析几何 一门利用坐标和向量代数研究空间图形的学科 几何简介 一、欧几里德（Euclid)几何 几何原本及内容 1、概念 1）点没有部分 2）线只有长度没有宽度 3）线的界限是点 4）直线是同其中各点看齐的线 （这个定义据信是从泥水匠的水准器或从一只眼睛沿着线往前看的结果得到启发而作出的） 第一章 矢量与坐标 1.1 矢量的概念 1.2 矢量的加法 1.3 数量乘矢量 1.4矢量的线性关系与矢量的分解 1.5标架与坐标 1.6矢量在轴上的射影 1.7两矢量的数性积 1.8两矢量的矢性积 1.9三矢量的混合积 *1.10 三矢量的双重矢性积 1.1 矢量的概念 矢量（定义1.1.1),(向量) 矢量的表示:有向线段. 字母表示: 1.2 矢量的加法 背景 三角形法则(定义1.2.1) 例题 例1 设互不共线的三个矢量 * 5）面只有长度和宽度 6）面的界限是线 7）平面是与其上直线看齐的那种面 …… 公设 1 从每点到每个别的点必定可以引直线 2 每条直线都可以无限延长 以任意点为心，可以用任意半径做圆 4 所有直角都相等 5 （在一平面上）若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必定相交于该侧的一点 这条公设就是著名的第五公设 公理 1 等于同量的量相等 2 等量加等量，总量仍相等 3等量减等量，余量仍相等 4 能重合的量相等 5 整体大于部分 逻辑 排中律，同一律等形式逻辑 欧几里德的公理体系有什么问题? 问题： 1在一定线上做等边三角形（直尺、圆规） 2 试证第五公设及质疑 第五公设的等价命题 过一直线外一点只能做一条直线与其共面不相交 非欧几何 1 罗氏几何（罗巴切夫斯基几何）：过一直线外一点能做两条以上直线与其共面不相交 2 黎曼几何 ：过一直线外一点所做直线总是与其共面相交 模型 模型？ 黎曼几何模型 解析几何：笛卡儿坐标思想，空间，向量代数 微分几何：数学分析思想，空间，张量代数 射影几何（高等几何）：变换群思想 几何基础 当代几何发展 A B , a 矢量的模及表示 （黑体） （注意箭头） 单位矢量及平行矢量 零矢量 与直线和平面平行的向量 矢量相等（定义1.1.2), 规定零向量与任何向量都-------- 自由矢量 反矢量(定义1.1.3):模相等、方向相反 共线向量（定义1.1.4) 共面矢量(定义1.1.5) 共线矢量一定是共面矢量 练习题(pp3, 1-5) O A B O A B C 特别地, 平行四边形法则(定理1.2.1) 定理1.2.2 矢量的加法满足下面的运算律 交换律: 结合律 交换律简单证明: A B O C 由右图可得 交换律得证. 再证结合律 O A B C 证完 以后多个矢量相加可以不加括号 折线法则（多边形法则） 矢量的减法（定义1.2.2) 若有 , 则称 是 如图 或 移项 特别地 差向量作图歌 求差并起点， 连接两终点； 欲问何方向？ 箭头指前者。 重要不等式(三角不等式) ，试证明 顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是它们的和为零矢量. 证明: 先证必要性. 即已知三个矢量可以构成三角形 只需要证明 A B C 事实上 必要性得证. .(如图), 即有 *