浙江传媒学院复变函数2-4.ppt

*第四节 平面场的复势 一、用复变函数表示平面向量场 二、平面流速场的复势 三、静电场的复势 四、小结与思考 * 一、用复变函数表示平面向量场 二、平面流速场的复势 三、静电场的复势 四、小结与思考 平面定常向量场: 向量场中的向量都平行于某一个平面S, 而且在垂直于S 的任何一条直线上的所有点处的向量都是相等的; 场中的向量也都与时间无关. 显然, 向量场在所有平行于S 的平面内的分布情况是完全相同的, 可以用So 平面内的场表示. 例如, 一个平面定常流速场(如河水的表面) 平面电场强度向量为 1. 流函数: 如果它在单连域 B 内是无源场(即管量场), 流线 2. 势函数: 等势线(或等位线) 平面流速场的复势函数(复势) 柯西 –黎曼方程 3. 平面流速场的复势函数: 在单连域内可以作一个解析函数 给定一个单连域内的无源无旋平面流速场, 就可以构造一个解析函数——它的复势与之对应; 反之, 如果在某一区域(不管是否单连)内给定一个解析函数, 就有以它为复势的平面流速场对应, 并可以写出该场的流函数和势函数, 得到流线与等势线方程, 画出流线和等势线的图形, 即得描绘该场的流动图象. 例1 解 例2 解 由对称性, 因为流体不可压缩, 流过圆周的流量为 蓝色为等势线, 红色为流线. (流动图象如下) 解 例3 与例2类似, 沿圆周的环流量为 对比例1和例2的结果, 因此,只须将例2图中流线与等势线位置互换, 即可得涡点所形成的场的流动图象. 蓝色为流线, 红色为等势线. 当场内没有带电物体时, 静电场无源无旋. 与讨论流速场一样, 就是说, 等值线就是向量线, 即场中电力线. 静电场的复势 (复电位) 在B内可决定一个解析函数 利用静电场的复势, 可以研究场的等势线和电力线的分布情况, 描绘出场的图象.