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弹性力学第二章 习题
* * 《平面问题的基本理论》习题课 [练习1] 悬臂梁上部受线形分布载荷,如图所示。试根据材料力学中 的表达式,再用平衡微分方程导出 和 的表达式。 解:由材料力学知,过 点横截面 上的弯矩为: (1) 代入平衡微分方程,得: (2) 利用上、下面边界条件确定 将式(3)代入平衡微分方程中的第二式,得: (4) (3) [练习2] 试写出表中所示各平面物体的位移边界条件(用直角坐标),其中第二图中 点不动,过 点的水平线段无转动。 解:各位移边界条件见表所列。 [练习3] 图所示的几种受力体是否为平面问题?若是,则是平面应力问题,还是平面应变问题? R O q x y q h z y o Rh a) h Q Q O z y x y R O Rh b) Rl p R O p y x O p z l p y c) 图 a)所示为平面应力问题。图b)所示荷载垂直作用于板面,故为薄板弯曲问题。图c)所示荷载作用于板边,荷载及横截面沿z轴无变化,且Rl,故为平面应变问题。 解: 解: [练习4] 如图所示薄板条在y方向受均匀拉力作用,试证明在板中间突出部分的尖端A处无应力存在。 q O C B A y q x 本题可视为平面应力问题,AB和AC都是自由边界(且 ),无面力作用,即: 。代入边界条件有: AB边界: AC边界: 由于A同处于AB,AC边界,因此,需同时满足式(1)和式(2) ,由此解得: ,问题得证。 [练习5] 图a)所示为一矩形截面水坝,其右侧面受静水压力。 顶部受集中力P作用。试写出水坝的应力边界条件,固定边不必考虑。 P x O y h h a) P x O y b) P x O y c) 解: 1、列出应力边界条件 (1)左边界: (2)右边界: (3)上端部: P x O y h h a) [练习6] 图所示结构由两种不同材料构成。试求其在竖向均布荷载q作用下的位移和应力解答(设h,a,l, 均已知)。 1、采用位移解法。由于此结构处于双向均匀受压状态(应力、应变为常量),因此,可假设其位移是线性函数,现分上、下两区域表达为: 解: q x B D a h F l l y O A C E ABCD部分: CDEF部分: 显然式(1)、式(2)能满足平面应力情况下的平衡方程式。 2、考虑位移约束和变形连续条件: 由此解得: q x B D a h F l l y O A C E 3、考虑应力边界条件和应力连续条件(CD面为光滑接触): 由此解得: 4、位移及应力分量为:
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