空间向量1(教师).doc

第章 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减法 【考点】1．理解概念及其运算性质，掌握2．能够结合图形说明空间向量加减法及其运算律. 考点1：空间向量基本概念及理解 例1:给出下列命题： ①若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b； ②若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ③零向量没有方向； ④若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同． 其中假命题的个数是(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 ：模相等的两个向量不一定相等，①错；|m|＝|n|，|n|＝|p|，所以|m|＝|p|，又m与n同向，n与p同向，从而m与p同向，所以m＝p，②对；零向量方向任意，但并不是没有方向，③错；④错． C ：（）空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样． （）两个向量的模相等，只是它们的长度相等，但它们的方向不一定相同 考点2：空间向量加减法及运算律 例2．如图，在正方体ABCD－A中，M、N分别为AB、B的中点．用、、表示向量，则＝________． 解：解析　＝＋＋ ＝＋＋(＋) ＝＋＋(－＋) ＝＋＋ 正解依据：（）掌握好向量加、减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量的和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范． （）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 对数函数的性质 已知点G是△ABC的重心，O是空间任意一点，若＋＋＝λ，求λ的值． ：解　连结CG并延长交AB于D， 则D为AB中点，且CG＝2GD， ＋＋ ＝＋＋＋＋＋ ＝3＋＋＋ ＝3＋2＋ ＝3－＋＝3 ∴λ＝3.：根据向量加减运算的法则进行化简，注意向量的起点、终点【易错题案】例1下列说法正确的是(　　)． A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 例在空间四边形ABCD中，2＋＋－＋＝__________． 0　 例，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）； （2）；（3）． 正解：解：如图， （1）； （2） ； （3）． 【高考链接】例【】一、选择题下列说法中正确的是(　　)． 若|a|＝|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反 若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| 空间向量的减法满足结合律 在四边形ABCD中，一定有＋＝ ．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′的棱所在向量中，与向量模相等的向量有(　　)． 个 ．个 ．个 ．个 3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的共有(　　) (1)(＋)＋ (2)(＋)＋ (3)(＋)＋ (4)(＋)＋. A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 ．已知G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则＋＋＋＝(　　) A．4 B．3 C．2 D. 5．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c, 点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则等于(　　) A.a－b＋c B．－ a＋b＋c C.a＋ b－c D.a＋b－c ．已知正方体ABCD－A′B′C′D′ ，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则等于(　　) A.＋＋B.＋＋ C.＋＋D.＋＋ 二、填空题7．对于空间中的非零向量、、，有下列各式：①＋＝；②－＝；③|＋|＝|；|－|＝|其中一定不成立的是_　②_______． ．设A，B，C，D为空间任意四点，则－＋＝________. [答案]　 已知点M是△ABC的重心，则＋＋＝________． 答案　0 10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量表达式－＋－的化简结果为________． [答案]　2三、解答题11．如图，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA＝1的长方体－A的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为的所有向量； (3)试写出与相等的所有向量； (4)试写出的相反向量． 解　(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量、、、、、、、共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个． (2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为，故模为的向量有、、、、、、、，共8个． (3)与向量相等的所有向量(除它自身之外)共有、及，3个． (4)向量的相反向量为、、、，共4个． 1．在四面体ABCD中，E、F分别为棱AC、BD的中点，求证：＋＋＋＝4. [证