中考数学压轴第1节 直角三角形问题.doc

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中考数学压轴第1节 直角三角形问题

第1节 因动点产生的直角三角形问题 例1如图1,抛物线与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧),与y轴交于点C,连结BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m, 0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q. (1)求点A、B、C的坐标; (2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD、BC于点M、N.试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由; (3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点Q,使△BDQ为直角三角形,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 思路点拨 1.第(2)题先用含m的式子表示线段MQ的长,再根据MQ=DC列方程. 2.第(2)题要判断四边形CQBM的形状,最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图,先得到结论. 3.第(3)题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解,一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形. 满分解答 (1)由,得A(-2,0),B(8,0),C(0,-4). (2)直线DB的解析式为. 由点P的坐标为(m, 0),可得,. 所以MQ=. 当MQ=DC=8时,四边形CQMD是平行四边形. 解方程,得m=4,或m=0(舍去). 此时点P是OB的中点,N是BC的中点,N(4,-2),Q(4,-6). 所以MN=NQ=4.所以BC与MQ互相平分. 所以四边形CQBM是平行四边形. 图2 图3 (3)存在两个符合题意的点Q,分别是(-2,0),(6,-4). 考点伸展第(3)题可以这样解:设点Q的坐标为. ①如图3,当∠DBQ=90°时, .所以. 解得x=6.此时Q(6,-4). ②如图4,当∠BDQ=90°时, .所以. 解得x=-2.此时Q(-2,0). 图3 图4 例2如图1,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C. (1)求点A、B的坐标; (2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标; (3)若直线l过点E(4, 0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式. 思路点拨 1.根据同底等高的三角形面积相等,平行线间的距离处处相等,可以知道符合条件的点D有两个.2.当直线l与以AB为直径的圆相交时,符合∠AMB=90°的点M有2个;当直线l与圆相切时,符合∠AMB=90°的点M只有1个.3.灵活应用相似比解题比较简便. 满分解答(1)由, 得抛物线与x轴的交点坐标为A(-4, 0)、B(2, 0).对称轴是直线x=-1. (2)△ACD与△ACB有公共的底边AC,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,点B、D到直线AC的距离相等. 过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D,在AC的另一侧有对应的点D′. 设抛物线的对称轴与x轴的交点为G,与AC交于点H. 由BD//AC,得∠DBG=∠CAO.所以. 所以,点D的坐标为. 因为AC//BD,AG=BG,所以HG=DG. 而D′H=DH,所以D′G=3DG.所以D′的坐标为. 图2 图3 (3)过点A、B分别作x轴的垂线,这两条垂线与直线l总是有交点的,即2个点M. 以AB为直径的⊙G如果与直线l相交,那么就有2个点M;如果圆与直线l相切,就只有1个点M了. 联结GM,那么GM⊥l. 在Rt△EGM中,GM=3,GE=5,所以EM=4. 在Rt△EM1A中,AE=8,,所以M1A=6. 所以点M1的坐标为(-4, 6),过M1、E的直线l为. 根据对称性,直线l还可以是. 考点伸展第(3)题中的直线l恰好经过点C,因此可以过点C、E求直线l的解析式. 在Rt△EGM中,GM=3,GE=5,所以EM=4. 在Rt△ECO中,CO=3,EO=4,所以CE=5. 因此三角形△EGM≌△ECO,∠GEM=∠CEO.所以直线CM过点C. 1、(温州2011年24题)如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(﹣4,0),点B的坐标是(0,b)(b>0).P是直线AB上的一个动点,作PC⊥x轴,垂足为C.记点P关于y轴的对称点为P′(点P′不在y轴上),连接PP′,P′A,P′C.设点P的横坐标为a. (1)当b=3时,①求直线AB的解析式;②若点P′的坐标是(﹣1,m),求m的值; (2)若点P在第一象限,记直线AB与P′C的交点为D.当P′D:DC=1:3时,求a的值; (3)是否同时存在a,b,使△P′C

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