解答题专项训练(一)教师版.doc

解答题专项训练（一） 1. 2010·安徽高考理科）如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，，，，，为的中点。 (1)求证：∥平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的大小。 【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。 【规范解答】综合法证明如下： 向量法证明如下： (1) (2) (3) 【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行； 2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直； 3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。 4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解证明。应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用。 2. 如图，在等腰梯形中， 为边上一点，且将沿折起，使平面⊥平面(Ⅰ)求证：⊥平面(Ⅱ) 若为的中点，试求异面直线和所成的角的余弦值． (Ⅲ) 试问：在侧棱上是否存在一点，使截面把几何体分成的两部分的体积之比 ？若存在，请求的长；若不存在，请说明理由. 解： (Ⅰ)证明：依题意知，∥ 又∵平面⊥平面，平面平面，平面…………………分 (Ⅱ)补成一个长方体，其中分别为 所在棱的中点,则易得∥，∥，所以就 是异面直线和所成的角…………4分，在中， 在中， 在中，， 由余弦定理可得： ……………6分和所成的角的余弦值为．…………8分(Ⅲ) 解：上存在一点，满足条件 ∵，∴………………9分知平面． 设到平面的距离为，则，故……………………12分(Ⅰ)由知平面所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则易得各点的坐标为 故． 设 是平面可得 由可得，， 又因为是平面平面⊥平面…………… (Ⅱ)由(Ⅰ)知的中点的坐标为故又 所以异面直线和所成的角的余弦值为． 3. 如图，椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点,且，； （1）求椭圆的标准方程； （2）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由. 解：（1）如图建系，设椭圆方程为,则 又∵即 ∴ [来源:学。科。网Z。X。X。K][来源:学|科|网]的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆 ，且点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为 （1）求此时椭圆G的方程； （2）设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由. 21、解:（1）根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心，------1’ 故该椭圆中a=b=c,即椭圆方程可为x2+2y2=2b2--------2’ 设H（x，y）为椭圆上一点，则 ------3’ 若0 由（舍去）…………………………4’ 若b≥3，当y=－3时，|HN|2有最大值2b2+18 由2b2+18=50得b2=16 ∴所求椭圆方程为…………………6’ （ii）设E（x1，y1），F(x2，y2），Q（x0，y0），则由 ③ 又直线PQ⊥直线m ∴直线PQ方程为 将点Q（x0，y0）代入上式得， ④………………8’ 由③④得Q…………………………………………10’ 而Q点必在椭圆内部 由此得 故当时E、F两点关于点P、Q的直线对称.…………12’ A E F B C D H G A E F B C D H G K A E F B C D H G X Y Z