单元过关检测(立体几何一)5.1教师.doc

单元过关检测(立体几何一) 一.填空题 1.已知点在直线上，在平面内，则之间的关系为 . 2.下列命题中真命题的序号为 . （2），（3） （1）空间两条直线能确定一个平面；（2）梯形是平面图形；（3）空间四点不共面，则其中任何三点不共线；（4）四边相等并且四个角相等的四边形是正方形. 3.已知平面平面=直线，直线，直线，且与相交，则和的位置关系为 . 异面 4.如果，那么与 . 相等或互补 5．正方体的棱长为，分别是棱的中点，（1）异面直线与所成角为 ____；（2）异面直线与所成角为 ；（3）异面直线与所成角为 . 6.在以下四个命题中，正确的为 . （4） 没有公共点的两条直线是异面直线； 分别位于两个平面内的两条直线是异面直线； 某一个平面内的一条直线和不在这个平面内的一条直线是异面直线； 既不平行又不相交的两条直线是异面直线。 7．在正方体中，与成角的面对角线有 条. 8 8．在正方体 中，对角线与面对角线所成角大小为 . 9．空间四边形中，分别是的中点，若，且与所成的角为，则四边形的面积为 . 10.已知是一对异面直线，且成角，则在过点的直线中与所成角均为 的直线最多有 条. 3 二解答题 11. 已知：如图，空间四边形中，点在边上， 点在上，点都在边上， 求证：直线是异面直线. 证明:(反证法)假设不是异面直线，那么必存在平面经过， 则 . 因为过不共线三点有且只有一个平面， 所以，平面即是平面，那么平面，与条件矛盾. 12. 在正方体中，点在棱上； 画出直线与平面的交点， 并证明：、、三点共线. 【思路分析】确定直线与平面的交点， 关键是确定直线所在的一个平面与 平面的交线，该交线与直线 的交点即为所求. 【解】平面，平面. 直线、平面， 延长，与直线相交于点. 平面， 平面，点就是直线与平面的交点. 此时，显然有、、三点共线. 13.空间四边形中，、、、分别为、、、 上的点，若，且， （1）求证：点、、、四点共面； （2）若，求证：四边形为梯形. （3）若，求证：直线、、相交于一点. 【思路分析】（1）公理3及其推论是判断四点共面的依据； （2）证明四边形为梯形，需证； （3）根据公理2，要证明直线、、相交于一点，须先证直线 相交于点，再证点为平面与平面的公共点，从而说明点在平面与平面的交线上. 【证明】（1）因为，所以. 又，. 由公理4知，， 所以点、、、四点共面. （2）当时，由（1）知，， 所以四边形为梯形. （3）当时，由（1）（2）知，四边形为梯形，直线与直线相交，设交点为，平面，平面， 平面，平面。 又平面平面， 直线、、相交于一点. 14.在空间四边形中，分别是边上的点， 且，； 求证：直线是异面直线； 求异面直线与所成的角. 【思路分析】（1）证明两条直线是异面直线，通常采用反证法.例如： 要证明直线 是异面直线，首先可假设不共面，则共面于. （2）求两条异面直线所成角，常用的方法是平移两条异面直线中的一条或两条，使之转化为两条相交直线所成的角。利用中位线或直线平移是常用方法。 【证明】（1）假设空间四边形的对角线不是异面直线，则共面于， 因此点均在平面内，这与已知“是空间四边形（四个顶点不在同一平面内）”相矛盾. （2）在上取一点，使，连接，由题设条件知，可得，即，所以（或其补角）是异面直线 与所成的角。，，同理可得.在中，由余弦定理，， .故异面直线所成的角为. 【解题回顾】（1）反证法是间接证法的一种，它在立体几何证题中经常用到。在运用反证法时，一定要严格按照步骤分层次进行：第一步，作出和结论相反的假设；第二步，从假设出发，推导出一个与已知或某一公理、定理，或某一已获证的命题相抵触的结论，从而得到一对逻辑矛盾；第三步，推翻假设，肯定题中的结论. （2）由于两条异面直线所成角满足，当平移变换后得的角大于，其补角才是异面直线所成的角. 3