2010届高三数学一轮复习强化训练精品空间点、直线、平面之间的位置关系.doc

2010届高三数学一轮复习强化训练精品 空间点、直线、平面之间的位置关系 1.给出下列四个命题： ①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一平面的两个平面互相平行； ③若直线l1、l2与同一平面所成的角相等，则l1,l2互相平行； ④若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是 . 答案 4 2.对于平面和直线l，内至少有一条直线与直线l （用“垂直”，“平行”或“异面”填空）. 答案 垂直 3.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成 部分. 答案 7 4.（2007·广东理，12）如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)= ;f(n)= .（答案用数字或n的解析式表示） 答案 8 n(n-2) 5.如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为 . 答案 60° 例1 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1，CG∶GD= 3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH. （1）求AH∶HD； （2）求证：EH、FG、BD三线共点. (1)解 ∵==2，∴EF∥AC. ∴EF∥平面ACD.而EF平面EFGH， 且平面EFGH∩平面ACD=GH， ∴EF∥GH.而EF∥AC， ∴AC∥GH. ∴==3,即AH∶HD=3∶1. （2）证明 ∵EF∥GH,且=，=， ∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形. 令EH∩FG=P，则P∈EH，而EH平面ABD， P∈FG，FG平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD， ∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点. 例2 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点.问： （1）AM和CN是否是异面直线？说明理由； （2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由. 解 （1）不是异面直线.理由如下： ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点. ∴MN∥A1C1， 又∵A1A D1D，而D1D C1C，∴A1A C1C，∴四边形A1ACC1为平行四边形. ∴A1C1∥AC，得到MN∥AC， ∴A、M、N、C在同一个平面内， 故AM和CN不是异面直线. （2）是异面直线，证明如下： 假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内， 则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1. ∴BC平面CC1D1， 这与正方体ABCD—A1B1C1D1中BC⊥面CC1D1相矛盾. ∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线. 例3 （16分）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°， 对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°. （1）求四棱锥的体积； （2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值. 解 （1）在四棱锥P—ABCD中， ∵PO⊥平面ABCD， ∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角， 即∠PBO=60°， 2分 在Rt△POB中， ∵BO=AB·sin30°=1， 又PO⊥OB，∴PO=BO·tan60°=, ∵底面菱形的面积S=2××2×2×=2. ∴四棱锥P—ABCD的体积 VP—ABCD=×2×=2. 8分 （2）取AB的中点F，连接EF，DF， ∵E为PB中点，∴EF∥PA， ∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或其补角）. 10分 在Rt△AOB中， AO=AB·cos30°==OP， ∴在Rt△POA中，PA=6，∴EF=. 12分 在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF=DE=， 由余弦定理得 ∴cos∠DEF= 14分 ===. 所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为. 16分 1.如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O. 求证：B、D、O三点共线. 证明 ∵E∈AB，H∈AD， ∴E∈平面ABD，H∈平面ABD. ∴EH平面ABD. ∵EH∩FG=O，∴O∈平面ABD. 同理可证O∈平面BCD， ∴O∈平面ABD