1.2 矩阵的初等变换.ppt

第一章 线性方程组 1.2 矩阵的初等变换 当m、n较大时,书写或者表示线性方程组 需要重复许多次不参与运算的未知量 因此,我们将方程组中未知量的系数形成m行n列矩形数表 称为方程组的系数矩阵 如果再考虑到方程组右端的常数项,可以得到m行n+1列矩形数表 称为方程组的增广矩阵 对方程组的研究将归结于对如上形式的系数矩阵和增广矩阵的研究 现在的目标是将解线性方程组中起关键作用的方程组的初等变换迁移到系数矩阵和增广矩阵. 如果我们将两种数表抽象为如下矩阵的概念,就可以仅仅关注对于矩阵的变换,其既适用于对系数矩阵的变换又适用于对增广矩阵的变换. 定义1.2 将m×n个数（i =1,2,…,m; j =1,2,…,n）排成的一个矩形数表 A = 称为一个m行n列矩阵(matrix),简称为m×n矩阵. 其中横向各排称为行(row), 纵向各排称为列(column), m×n个数叫作矩阵A的元, aij叫做矩阵A的(i, j)元 ((i, j)entry). 例1.6 解线性方程组 可用如下的3行4列增广矩阵来描述 下面通过定义与线性方程组的初等变换类似的矩阵的初等变换来描述对方程组的同解变换, 以达到对方程组消元的目的. 只是矩阵除了有行初等变换之外, 同时还可以有列初等变换, 所以我们下面对矩阵相应变换的定义中涵盖行和列. 定义1.3 下面的三种变换称为矩阵的初等变换(elementary operation): 对换矩阵的两行(或两列) i,j两行(列)互换位置记作ri?rj(ci?cj) 以任意数?(??0)乘以矩阵的某一行(列)的每个元 用非零常数?乘以第i行(列)记作ri×?(ci×?) 某一行(列)的每个元乘以同一常数加到另一行(列)的对应元上去 数?乘以第j行(列)加到第i行(列)记作ri+?rj (ci+? cj) 矩阵A经过初等变换后化为矩阵B, 则称A与B等价, 表示为 A?B 习惯上, 在箭头的上面写出行变换, 在箭头的下面写出列变换. 容易看出，上述定义的对矩阵行的初等变换,完全对应着方程组的初等变换.而对方程组消元对应着利用初等行变换增加矩阵某些行零元(未知量系数)的个数. 下面我们用例1.6所对应的增广矩阵的初等变换来说明这一点. 消元的每一步, 都有多种途径可以选择, 如果随意性太大, 没有任何规律可循, 就不可能推广到任意规模的线性方程组, 同时也不可能实现计算机辅助求解. 下面,我们将熟知的消元法系统化从而获得解决一般线性方程组的系统方法. 这种方法起源于对化简方程组过程的综合分析. 第一节例1.4化简之后对应的增广矩阵为 注意到: 简化矩阵一般在后面的行中0元居多,从而使对应的未知量个数减少,如 对应的线性方程组已经较宜于求解,但还有一些同除以未知量系数(对应于同乘以未知量系数的倒数的初等变换)和逐步代入上面方程的工作需要进行. 如果我们将这些变换在未知量代入之前就在矩阵中先化简彻底,将会更为便捷.为此引入如下定义. 定义1.4 一个m×n矩阵A是行最简阶梯型(reduced row echelon form) ,如果满足如下的性质: 1.如果存在所有元全为零的行,则这些行都位于矩阵的底部. 2.非零行中从左边起的第一个非零元是1, 这个元被称为此行的主元(leading entry). 3.每一非零行的主元出现在上一非零行主元的右下方. 4.如果一个列含有一个行的主元,则此列中的所有其它元都为零. 以行最简阶梯型存在的矩阵形成一种主元依次从左上下降的阶梯形式,并且含有主元的列中除主元之外全为零. 满足定义1.4性质1,2,3的m×n矩阵A被称为行阶梯型(row echelon form). 行阶梯型也有阶梯形式, 但含有主元的列中, 主元至上的元可以不为零. 例1.7 下列矩阵是行最简阶梯型. 如果我们将左边矩阵作为一个线性方程组的一个增广矩阵,则对应于方程组 由此可见, 方程组的增广矩阵化为行最简阶梯型之后,就可以免去未知量的代入过程. 但如果仅仅化为行阶梯型, 一般就不能免去未知量的代入过程. 例如,行阶梯型矩阵(右矩阵) 以此矩阵为增广矩阵对应于方程组 例1.9 实施行初等变换将矩阵 解 第一步: 从左至右发现第一个元不全为零的列, 第三步: 如果关键元不是(1,1)元,即不是处于第一列和第一行交叉处的元,则交换第一行和包含关键元的行.在A 中是交换第一行和第三行,得到 A1 = 化为0.当然,这并非绝