数学2--1课件3.1.2.ppt

向量共面问题 1.关于向量共面的几点认识 （1）共面向量不一定在同一平面内，但可以平移到同一平面内； （2）空间任意的两个向量都是共面的； （3）共面向量定理及其推论可以用于解决空间中四点共面的问题. 2.证明空间四点共面的方法 对空间四点P、M、A、B可通过证明下列结论成立来证明四点共面. （1） （2）对空间任一点O， （3）对空间任一点O， （x+y+z=1)； （4） ∥ (或 ∥ 或 ∥ ）. 【例3】如图所示，已知四边形 ABCD是平行四边形，点P是ABCD 所在平面外的一点，连接PA、 PB、PC、PD.设点E、F、G、H分 别为△PAB、△PBC、△PCD、 △PDA的重心. （1）试用向量方法证明E、F、G、H四点共面； （2）试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断. 【审题指导】（1）要证E、F、G、H四点共面，关键根据 共面向量定理的推论，能找到实数x、y，使 （2）先根据图形判断平面EFGH与平面ABCD的关系，然后证明. 【规范解答】（1）分别连结 PE、PF、PG、PH并延长，交对 边于点M、N、Q、R， 连结MN、NQ、QR、RM， ∵E、F、G、H分别是所在三角 形的重心， ∴M、N、Q、R是所在边的中点，且 由题意知四边形MNQR是平行四边形， 由共面向量定理知，E、F、G、H四点共面. （2）平行.证明如下：由（1）得 ∴ ∥ ∴EG∥平面ABCD. 又 ∴ ∥ 即EF∥平面ABCD. 又∵EG∩EF=E， ∴平面EFGH与平面ABCD平行. 【变式训练】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为B1D1的中点，用向量证明：B1C∥平面ODC1, 【解题提示】本题可利用共面向量定理证明. 【证明】设 ∵四边形B1BCC1为平行四边形，∴ 又O是B1D1的中点，∴ 易知 ∴ 是共面向量. 又B1C 平面ODC1,∴B1C∥平面ODC1. 线面位置关系的证明 【例】如图，已知E、F、G、H分别 是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA的中点. （1）用向量法证明：E、F、G、H 四点共面； （2）用向量法证明：BD∥平面EFGH. 【审题指导】可利用共面向量的充要条件证明四点共面，利用线面平行的判定定理，结合向量的共线证明BD∥平面EFGH. 【规范解答】（1）连结BG， 则 由共面向量定理知E、F、G、H四点共面. （2）∵ ∴EH∥BD，又EH 平面EFGH，BD 平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH. 【变式备选】如图所示，已知正 方形ABCD和正方形ABEF有公共边 AB，点M、N分别在AE，BD上，且 求证：MN∥平面BCE. 【解题提示】将 分解到 中的两个向量上. 【证明】∵ 又 ∴ 共面，∴ ∥平面BCE， 又∵MN 平面BCE，∴MN∥平面BCE. 【典例】（12分）对于任意空间四边形ABCD，E、F分别 是AB、CD的中点，试判断： 与 的关系. 【审题指导】根据题中条件画出图形，利用中点关系寻 求 的关系，运用向量共面的充要条件即可证明 与 共面. 【规范解答】如图所示，空间四 边形ABCD中，E、F分别是AB、CD 的中点，利用多边形加法法则可得， ① ……………………………………2分 ② ……………4分 又 ③ …………6分 将③代入①得 ④……………8分 ②+④得 ……………………………10分 所以 即 与 共面.……12分 【误区警示】对解答本题 时易犯的错误具体分析如下： 【即时训练】本例条件不变，请判断 与 是否共线？ 【解析】连结AC，取AC中点G. 连结EG、FG. 又∵ 共面， 即 与 共线. 1.下列命题中正确的是( ) (A)若 与 共线， 与 共线，则 与 共线 (B)向量 共面即它们所在的直线共面 (C)零向量没有确定的方向 (D)若 ∥ 则存在惟一的实数λ，使 【解析】选C.A中若 则 与 不一定共线；B中共面 向量的定义是平行于同一平面的向量，而表示这些向量 的有向线段所在的直线不一定共面.