2.1.2_空间中直线与直线之间的位置关系22.ppt

a b c e d 我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢? 观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系？ a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ … 公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． ———平行线的传递性 二、空间直线的平行关系 若a∥b，b∥c， 1、平行关系的传递性 c a a b c c a α 则 a∥c。 公理4的作用：它是判断空间两条直线平行的依据 公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． 推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行． 二.空间直线的平行关系： 例2.已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC， CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证：EFGH是一个平行四边形。 ?证明：连结BD ∵ EH是△ABD的中位线 ∴EH ∥BD且EH = BD 同理，FG ∥BD且FG = BD ∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形 如果再加上条件AC = BD,那么四边形EFGH是什么图形？ A B D E F G H C 在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结 论是否仍然成立呢？ 定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补． 观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 , ∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小 关系如何? 答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1, ∠ADC +∠A1B1C1=180 O D1 C1 B1 A1 C A B D 二.空间直线的平行关系： 2.等角定理 定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 问：这两个角什么时候相等，什么时候互补？ 三.异面直线所成的角 在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图. 在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢? A B G F H E D C O 问题提出 复习回顾 解决问题 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a b b ′ a′ O 思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题 思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变? 异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ] o o 如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b a ″ 思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小 是否改变? ∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (公理4), 解答： 如图 设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 , 同理 b′∥b″, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理) b ′ a′ O ∠1 a a″ b ∠2 答 : 这个角的大小与O点的位置无关. a α a1 b1 O 1、分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的 锐角（直角）叫做两异面直线所成的角 2、定义由等角定理解释： 为了简便，在求作异面直线所成的角时,O点 常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等) b a α O θ 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。 相交垂直（有垂足） 垂直 异面垂直（无垂足） O α α O 因此，异面直线所成角的范围是（0， ] 3、特例： 求异面直线所成的角的步骤是: 一作(找)：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角 5、求异面直线所成的角的基本法则： 作平行线，构三角形 D1 C1 B1 A1 C A B D （1）如图，观察长方体 A