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2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 会 (第2节用)
看一下生活中的例子: 1.平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线? 答:错。 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成角的大小为( ) A.60° B.90° C.105° D.75° 如图,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC= ,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点,求异面直线BE与CD所成角的余弦值. 例2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E、F分别为AA1,CC1的中点. 求证:BF ED1. ∥ 例9 必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 相交 平行 相交 (有一个公共点) 平行 (无公共点) a b o a b 复习与准备:平面内两条直线的位置关系 那空间中两直线还有没有其他的位置关系呢? 两条直线的位置关系 思考1:同一平面内两条直线有几种位置关系?空间中的两条直线呢? C 立交桥中, 两条路线AB, CD A B C D 思考一 2.平移a,b两条直线,它们能完全重合吗? 找不到一个平面使得直线a,b在 同一共面内! a b 1.直线a,b相交吗? 不相交 不平行 3. 能否找到一个平面, 使得a,b两条直线都在这个平面内? 不同在 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 1.异面直线的定义: 定义中是指“任何”一个平面,是指找不到一个平面, 使这两条直线在这个平面上,这样的两条直线才是异面直线。 注1 例子:如图,在长方体中, 判断AB与HG是不是异面直线? A B G F H E D C AB与HG不是异面直线。 任何 空间中的直线与直线之间有三种位置关系: 相交直线: 平行直线: 共面直线 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点 同一平面内,有且只有一个公共点; 同一平面内,没有公共点; 如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对? 探究 F A H G E D C B C D B A E F G H 直线EF 和直线HG 直线AB 和直线CD 直线AB 和直线HG 答:3对 异面直线的画法:用平面作衬托 α a b 图1 α β b a 图2 α a b 图3 这样表示a、b异面正确吗? α β b a b 例1.判断题1 a a与b是相交直线 a与b是平行直线 a与b是异面直线 a b M 答:不一定:它们可能异面,可能相交,也可能平行。 分别在两个平面内的两条直线一定异面吗? a b a b 判断题2 注2 在不同平面内的两条直线不一定异面。 1.正方体ABCD-A1B1C1D1中, 与对角线 A1 C异面的棱有( ) A.3条 B.4条 C.6条 D.8条 解析: 在正方体中与AC1异面的棱有BC、CD、BB1、DD1、C1D1、A1D1共6条. 答案: C 2.如果两条直线a和b没有公共点,则a和b( ) A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面 答案: D A1 B1 C1 D1 A B C D 平行直线 如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′中, BB′∥AA′,DD′∥AA′,那么BB′与DD′平行吗 ? C B C A D B A D 观察 答:平行 2、平行直线 公理4 平行同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示:设a,b,c为直线 a∥b c∥b a∥c a b c a,b,c三条直线两两平行,可以记为a∥b∥c (空间、平面平行线的传递性) 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 例题示范 例1: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点。 求证:四边形EFGH是平行四边形。 分析: 欲证EFGH是一个平行四边形 只需证EH∥FG且EH=FG E,F,G,H分别是各边中点 连结BD,只需证: EH ∥BD且EH = BD FG ∥BD且FG = BD A B D E F G H C 例题示范 例1: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点。 求证:四边形EFGH是平行四边形。 A B D E F G H C ∵ EH是△ABD的中位线 ∴EH ∥BD且EH = BD 同理,FG ∥BD且FG = BD ∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形 证明: 连结BD 等角定理
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