7.7立体几何中的向量方法(一).ppt

【变式备选】如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为 1的菱形，∠ABC＝ ,OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点.利用向量方法证明：直线MN∥平面OCD. 【证明】作AP⊥CD于点P，如图，分别以 AB，AP，AO所在直线为x轴、y轴、z轴建 立空间直角坐标系， 则P(0， ，0)，D(- ， ，0)， O(0，0，2)，M(0，0，1)，N(1- ， ，0)， ＝(1- ， ，-1)， 设平面OCD的一个法向量为n＝(x,y,z), 取z= ，解得n=(0,4, ). 且MN? 平面OCD，∴MN∥平面OCD. 第 七 节 立体几何中的向量方法(一) ——证明空间中的位置关系 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量 ①定义：向量a所在直线与l___________，则a叫做l的方向向量； ②确定：通常在直线l上任取两点构成的向量. 平行或重合 (2)平面的法向量 ①定义：与平面_____的向量，称做平面的法向量； ②确定：设n是平面的法向量，在平面内找两个不共线向量 a,b，由方程组 来确定. 垂直 2.空间位置关系的向量表示 n⊥m?_______ α⊥β n∥m?______ l⊥α n1⊥n2?________ l1⊥l2 n∥m?______ α∥β 平面α,β的法向量分别为n,m n⊥m?_______ l∥α 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m n1∥n2?_______ l1∥l2 直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2 向 量 表 示 位 置 关 系 n1=λn2 n1·n2=0 n·m=0 n=λm n=λm n·m=0 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( ) 【解析】(1)错误.与直线平行的任意非零向量都是该直线的方向向量. (2)错误.由于法向量的方向不同，所以平面的单位法向量不唯一. (3)正确.由平面平行的转化定理可知. (4)正确.由直线平行的转化定理可知其逆否命题正确，根据等价命题可知. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ 1.若直线l的方向向量为a=(1,0,2)，平面α的法向量为 u=(-2,0,-4),则( ) (A)l∥α (B)l⊥α (C)l?α (D)l与α斜交 【解析】选B.∵a=(1,0,2),u=(-2,0,-4), ∴u=-2a,即u∥a, ∴l⊥α. 2.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是( ) (A)a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) (B)a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) (C)a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) (D)a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) 【解析】选D.若l∥α，则a·n=0.经验证知，D满足条件. 3.若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),则直线l1,l2的位置关系是______． 【解析】由a·b=2×(-6)+4×9+(-4)×6=0得a⊥b，从而l1⊥l2． 答案：l1⊥l2 4.若平面α，β的法向量分别为a=(-2,y,8),b=(-10,-1,-2),且α⊥β，则y=________. 【解析】∵α⊥β, ∴a·b=0, 即20-y-16=0,∴y=4. 答案：4 5.若A(0,2, ),B(1,-1, ),C(-2,1, )是平面α内的三点，设平面α的法向量n=(x,y,z)，则x∶y∶z=________. 【解析】由题知 =(1，-3，- )， =(-2,-1,- ). 所以x∶y∶z=( y)∶y∶(- y)=2∶3∶(-4)． 答案：2∶3∶(-4) 考向 1 空间中的点共线、点共面问题 【典例1】已知E,F,G,H分别是 空间四边形ABCD边AB,BC,CD, DA的中点,用向量法证明： (1)E，F，G,H四点共面. (2)BD∥平面EFGH. 【思路点拨】(1)证明 根据共面向量定理即可得到结论；或证明FG∥EH，即可得到FG,EH确定一平面，故得四点共面． (2)证明 共线，然后根据线面平行的判定定理解题即可. 【规范解答】(1)方法一：∵E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边的中点， ∴E,F,G,H四点共面