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8.1 平面及空间两直线的位置关系
* 1.平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点.这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线. 公理3:经过 的三点,有且只有一个平面. 基础知识 自主学习 要点梳理 §8.1 平面的性质及空间直线的位置关系 两点 不在同一条直线上 第八章 立体几何 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 异面直线:不同在 一个平面内 (2)异面直线所成的角 ①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的 叫做异面直线a,b所成的角. ②范围: . 共面直线 平行 相交 任何 锐角 或直角 3.直线与平面的位置关系有 、 、 三种情况. 4.平面与平面的位置关系有 、 两种情况. 5.平行公理 公理4:平行于 的两条直线互相平行. 6.定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且 ,那么这两个角相等. 平行 相交 在平 面内 平行 相交 同一条直线 方向相同 1.(2010·无锡模拟)对于平面α和直线l,α内至少有一条直线与直线l (用“垂直”,“平行”或“异面”填空). 2.空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有 个. 解析 四点共面时,为一个平面;四点不共面时,可作4个平面. 基础自测 垂直 1或4 3.有以下四个命题,其中正确的命题的个数是 . ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则 A、B、C、D、E共面; ③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 解析 只有①正确. 1 4.如果一个凸多面体是n棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有f(n)对异面直线,则f(4)= ;f(n)= .(答案用数字或n的解析式表示) 解析 n棱锥有n+1个顶点,故可确定 条直线.四棱锥中每一条侧棱 都和底面上两棱成异面直线,故f(4)= 4×2=8,n棱锥中每一条侧棱都和底面 上n-2条棱成异面直线,故f(n)=n(n-2). 8 n(n-2) 【例1】如图所示,空间四边形ABCD中, E、F、G分别在AB、BC、CD上, 且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1, CG∶GD=3∶1,过E、F、G的平 面交AD于H,连结EH. (1)求AH∶HD; (2)求证:EH、FG、BD三线共点. 典型例题 深度剖析 (1)解 ∵ ∴EF∥AC. ∴EF∥面ACD. 而EF平面EFGH, 且面EFGH∩面ACD=GH, ∴EF∥GH.而EF∥AC, ∴AC∥GH. ∴ =3,即AH∶HD=3∶1. (2)证明 ∵EF∥GH,且 ∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形. 令EH∩FG=P,则P∈EH,而EH平面ABD, P∈FG,FG平面BCD,面ABD∩面BCD=BD, ∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点. 跟踪练习1 如图,E、F、G、H分别是 空间四边形AB、BC、CD、DA上的点, 且EH与FG交于点O. 求证:B、D、O三点共线. 证明 ∵E∈AB,H∈AD, ∴E∈平面ABD,H∈平面ABD. ∴EH平面ABD. ∵EH∩FG=O,∴O∈平面ABD. 同理可证O∈平面BCD, ∴O∈平面ABD∩平面BCD=BD, 即B、D、O三点共线. 【例2】如图所示,正方体ABCD —A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1, B1C1的中点.问: (1)AM和CN是否是异面直线? 说明理由; (2)D1B和CC1是否是异面直线? 说明理由. 解 (1)不是异面直线.理由: ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点. ∴MN∥A1C1,又∵A1A D1D,而D1D C1C, ∴A1A C1C,∴四边形A1ACC1为平行四边形. ∴A1C1∥AC,得到MN∥AC, ∴A、M、N、C在同一个平面内,故AM和CN不是异面直线. (2)是异面直线,证明如下: 假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内, 则B∈平面CC1D1,C∈平面CC1D1. ∴BC平面CC1D1, 这与ABCD—A1B1C1D1中BC⊥面CC1D1相矛盾. ∴假设不成立,故D1B与CC1是异面直线. 跟踪练习2 (2010·扬州模拟)设a、b、c是两两异面的三条直线,已知a⊥b,且d是a、b的公垂线.如果c⊥a,那
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