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数学一轮复习7-3
(2010年天津高考)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1上的点,CF=AB=2CE,AB∶AD∶AA1=1∶2∶4. (1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值; (2)证明AF⊥平面A1ED; (3)求二面角A1-ED-F的正弦值. 连结BF,同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D.因为DE∩A1D=D,所以AF⊥平面A1ED.7分 (3)连结A1N,FN.由(2)可知DE⊥平面ACF.又NF?平面ACF,A1N?平面ACF,所以DE⊥NF,DE⊥A1N.故∠A1NF为二面角A1-ED-F的平面角.8分 1.共面条件使用不当致误 纠错训练1 设M、N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、AD的中点,试作出平面C1MN与正方体的截面. 【解】 取DD1的中点G,GD的中点F,连接AG、NF,延长FN交A1A的延长线于点H,连接HM交AB于点E,连接NE,则五边形C1MENF即为所求截面,如图所示. 下面证C1、M、E、N、F共面. 易证C1M∥AG. 在△ADG中,∵AN=ND,GF=FD, ∴NF∥AG. 又∵C1M∥AG,∴C1M∥FN. 故C1M与FN确定平面C1MNF. 又∵H∈NF,NF?平面C1MNF, ∴H∈平面C1MNF. 故H、C1、M、N、F共面. ∴HM?平面C1MNF.又∵E∈HM, ∴E∈平面C1MNF. ∴E、C1、M、N、F五点共面. 2.异面直线判断失误 纠错训练2 设a,b是异面直线,给出下列命题:①存在平面α、β使a?α,b?β,α∥β.②存在惟一平面α,使a,b与α距离相等.③对任意的相异两点A、B(A∈a,B∈a),相异两点C、D(C∈b,D∈b),直线AC与BD是异面直线.④存在直线c,使c上任一点到a,b的距离相等. 其中,正确的命题为________. 【答案】 ①②③ 3.忽略异面直线所成角的取值范围 纠错训练3 已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60°角,点M、N分别是BC、AD的中点,求直线AB和MN所成的角. 所以∠MPN为AB与CD所成的角(或所成角的补角). 则∠MPN=60°或∠MPN=120°, 若∠MPN=60°, 因PM∥AB, 所以∠PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角). 又因AB=CD,所以PM=PN, 则△PMN是等边三角形,所以∠PMN=60°, 即AB与MN所成的角为60°.若∠MPN=120°, 则易知△PMN是等腰三角形.所以∠PMN=30°. 【易错点评】 由于空间几何体的直观图与平面图形的差异,有时无法通过观察确定是锐角还是钝角,若不加以分析区别,非常容易出现角的范围不正确而得出错误答案,因此要通过图形中的边角等数据关系加以分析. 感谢您的关注! 高考总复习 BSD版(理)·数学 理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解可以作为推理依据的公理和定理. 对应学生用书94页 1.平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内. 公理2:过不共线的三点,有且只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. (2)异面直线所成的角 ①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a,b所成的角(或夹角). 思考探究:如果两条直线没有任何公共点,则两条直线为异面直线,此说法正确吗? 提示:不正确.如果两条直线没有公共点,则两条直线平行或异面. 3.直线与平面的位置关系 平行、相交、在平面内三种情况. 4.平面与平面的位置关系 平行、相交两种情况. 5.平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6.定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 1.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( ) A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能 解析:两直线可相交、异面或平行,选D. 答案:D 2.若直线a∥b,b∩c=A,则直线a与c的位置关系是( ) A.异面 B.相交 C.平行 D.异面或相交 解析:因为a∥b,b∩c=A,所以由公理4知a与c一定不平行,故选D. 答案:D 3.直线a、b、c两两平行,但不共面,经过其中两条直线的平面个数为( ) A.1 B.3 C.6 D.0 解析:∵a、b、c中任意两条直线就可确定一个平面, ∴共可确定3个平面. 答案:B 4.三个不重合的平面可以把空间分成n部分,则n的可能取值为________. 解析:当三个平面两两平行时,n=4; 当三个平面中有两个平行,第三个与这两个都相交时,n=6;
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