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抛物线的几何性质（2） 　例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，　　），求它的标准方程，并用描点法画出图形。 * 准 线 焦 点 方 程 图 形 l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） 二、 练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上） 开口方向 准线 焦点 方程 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 P(x,y) 一、抛物线的几何性质 抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。 1、范围 由抛物线y2 =2px（p0） 而 所以抛物线的范围为 关于x轴 对称 由于点 也满 足 ，故抛物线 (p0)关于x轴对称. y2 = 2px y2 = 2px 2、对称性 P(x,y) 定义：抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线 的顶点。 P(x,y) 由y2 = 2px （p0）当y=0时,x=0, 因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。 注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。 ３、顶点 离心率 对称性 顶点 范围 标准方程 图形 关于x 轴 对称，无 对称中心 关于x 轴 对称，无 对称中心 关于y 轴 对称，无 对称中心 关于y 轴 对称，无 对称中心 e=1 e=1 e=1 e=1 特点： 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有 对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、 一个焦点、一条准线; 思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P(x,y) 补充（1）通径： 通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。 |PF|=x0+p/2 x O y F P 通径的长度：2P P越大,开口越开阔 （2）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。 焦半径公式： （标准方程中2p的几何意义） 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。 4、M是抛物线y2 = 2px（p＞0）上一点，若点 M 的横坐标为x0，求点M到焦点的距离. O y x ． F M ． N 焦半径公式 y2 = -2px（p＞0） y2 = 2px（p＞0） x2 = 2py（p＞0） x2 = -2py（p＞0） x y O F A B B’ A’ 例2.斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长. y2 = 4x 解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1 x y O F A B B’ A’ 例2.斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长. y2 = 4x 解法二:由题意可知, 分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷． 变式： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m， 交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切． 证明：如图． 所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切． 设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C， 则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜ ∴｜AB｜ ＝｜AF｜＋｜BF｜ ＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜ 分析:直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形：一种是直线平行于抛物线的对称轴； 另一种是直线与抛物线相切． 判断直线与抛物线位置关系的操作程序 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的 对称轴平行 相交（一个交点） 计 算 判 别 式 0 =0 0 相交 相切 相离 分析: 直线与抛物线有两个公共点时△0 分析: 直线与抛物线没有公共点时△0 注:在方程中,二次项系数含有k,所以要对k进行讨论 作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情形,观察直线绕点P转动的情形 变式一:已知抛物线方程y2=4x,当b为何值时,直线l:y=x+b与抛物线(1)只有一个公共点(2)两个公共点(3)没有公共点.当直线与抛物线有公共点时,b的最大值是多少? 分析:本题与例1类型相似,方法一样,通过联立方程组求得. (1)b=1 (2)b1 (3)b1,当直线与抛物线有公共点时,b的最大值当直线与抛物线相切时取得.其值为1 变