1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》教学设计.doc

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1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》教学设计

1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》 江西省铜鼓县铜鼓中学 漆赣湘(336200) 教材:北师大版高一数学必修四第一章第四节第一小节 一、教学目标 1.知识与技能目标 (1)了解任意角的正弦函数、余弦函数定义产生的背景和应用; (2)掌握任意角的正弦余弦的定义培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力培养追求真理的精神通过本节的学习,使同学们有了一个全新的认识 问题1:初中我们学过锐角的正弦函数与余弦函数,同学们还记得它是怎样表示的吗? 借助右图直角三角形,复习回顾. ,=. 问题2:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数,那么该比值会随着三角形的大小而改变吗?为什么?(根据相似三角形的知识可知该比值不会发生改变) (二)新知探究 我们所学角的范围已经扩充到任意角,如果角为任意角,显然初中正弦函数与余弦函数的定义已经不能满足我们的需求,我们必须重新定义正弦函数、余弦函数.今天,我们将在直角坐标系中,对此作深入探讨. 【投影展示】问题3:如图,在直角坐标系中,我们作出一个以原点为圆心,以单位长度为半径的圆,该圆称为单位圆.设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边与单位圆交于点,你能求出与的值吗?该值与点的坐标有什么关系呢? 由学生自己探究,得出结论,,. 归纳总结:一般地,在直角坐标系中,给定单位圆,对于任意角,使角的顶点与原点重合,始边与轴正半轴重合,终边与单位圆交于点,那么点的纵坐标叫作角的正弦函数,记作;点的横坐标叫作角的余弦函数,记作.通常,我们用表示自变量,即表示角的大小,用表示函数值,则得到任意角的正弦函数,余弦函数. 【投影展示】问题4:在上述定义中,正、余弦函数的定义域与值域分别是什么? 说明:表示角的大小,故可为全体实数,而在单位圆中显然,故值域为. 【投影展示】问题5 如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?(由学生探讨) 说明:三角函数的值与点在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.根据三角形相似对应边成比例可知,我们只需计算点到原点的距离,那么,=.因此任意角的正弦函数与余弦函数是以角度为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故它们也可以看成以实数为自变量的函数. 【投影展示】问题6 当角分别在第一、第二、第三、第四象限时,你能确定角的正弦函数值、余弦函数值的正负吗?完成课本P14页表格. 象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 说明:正弦函数符号与所在象限记忆法则,从函数出发来记,“正弦上为正,余弦右为正,正切一、三正”;也可以从象限出发来记忆,即“一全为正,二正弦正,三正切正,四余弦正”. (三)新知应用 【投影展示】例1在直角坐标系的单位圆中,,(1)画出角;(2)求出角的终边与单位圆的交点坐标;(3)求出角的正弦函数值、余弦函数值.(课本P14页例1) 分析:只需求出交点坐标,套用定义即可求解. 变式训练1判断与的符号,并通过计算进行验证. 【投影展示】例2已知角终边上一点,求角的正弦函数值、余弦函数值. 分析:该点并不是角的终边与单位圆的交点,所以应先计算,再利用,求解. 解:, 所以,. 【投影展示】变式训练2已知角终边上一点,求角的正弦函数值、余弦函数值. 【投影展示】变式训练3已知角终边与直线重合,求角的正弦函数值、余弦函数值.若去掉“”这个条件呢? 说明:变式2中由于未注明的正、负,故需分情况讨论,旨在让同学们学会分类讨论思想,而变式3中并没有给出终边上一点的坐标,需要自己任意选取一特殊点的坐标求解,也可以作出单位圆与该射线或直线的交点,借助方程组的思想求出交点坐标,套用定义求解. (四)反思升华 由学生自己从以下三方面进行反思小结,教师从知识层面和思想方法层面帮助学生整理本节课的小节: ①本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? ②你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? ③正弦函数与余弦函数的定义在应用时应注意什么呢? (五)作业布置 【投影展示】课本P16页练习3,4,5填书上,P20页A组1,3,做作业本上. 补充作业:已知角终边与直线重合,求的值. (六)板书设计 五、教学反思 本节课整体效果是不错的,从熟知的初中的锐角三角函数到高中的任意三角函数,从旧知识到新知的扩展,对学生来讲较容易接受.课堂中的变式训练也使新知识能够以充分的应用,锻炼了学生的思维能力、考虑问题周密性,整节课学生始终处于探索与应用中. 2 1.41.任意角的正弦函数、余弦函数 例1 例2 定义: 符号法

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