1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》教学设计.doc

1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》 江西省铜鼓县铜鼓中学 漆赣湘（336200） 教材：北师大版高一数学必修四第一章第四节第一小节 一、教学目标 1．知识与技能目标 （1）了解任意角的正弦函数、余弦函数定义产生的背景和应用； （2）掌握任意角的正弦余弦的定义培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力培养追求真理的精神通过本节的学习，使同学们有了一个全新的认识 问题１：初中我们学过锐角的正弦函数与余弦函数，同学们还记得它是怎样表示的吗？ 借助右图直角三角形，复习回顾. ，＝． 问题２：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，那么该比值会随着三角形的大小而改变吗？为什么？（根据相似三角形的知识可知该比值不会发生改变） （二）新知探究 我们所学角的范围已经扩充到任意角，如果角为任意角，显然初中正弦函数与余弦函数的定义已经不能满足我们的需求，我们必须重新定义正弦函数、余弦函数．今天，我们将在直角坐标系中，对此作深入探讨． 【投影展示】问题3：如图,在直角坐标系中，我们作出一个以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，该圆称为单位圆．设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边与单位圆交于点，你能求出与的值吗？该值与点的坐标有什么关系呢？ 由学生自己探究，得出结论，，． 归纳总结：一般地，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交于点，那么点的纵坐标叫作角的正弦函数，记作；点的横坐标叫作角的余弦函数，记作．通常，我们用表示自变量，即表示角的大小，用表示函数值，则得到任意角的正弦函数，余弦函数． 【投影展示】问题4：在上述定义中，正、余弦函数的定义域与值域分别是什么？ 说明：表示角的大小，故可为全体实数，而在单位圆中显然，故值域为． 【投影展示】问题5 如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?（由学生探讨） 说明：三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.根据三角形相似对应边成比例可知，我们只需计算点到原点的距离,那么，＝．因此任意角的正弦函数与余弦函数是以角度为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故它们也可以看成以实数为自变量的函数. 【投影展示】问题6 当角分别在第一、第二、第三、第四象限时，你能确定角的正弦函数值、余弦函数值的正负吗？完成课本P14页表格． 象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 说明：正弦函数符号与所在象限记忆法则，从函数出发来记，“正弦上为正，余弦右为正，正切一、三正”；也可以从象限出发来记忆，即“一全为正，二正弦正，三正切正，四余弦正”． （三）新知应用 【投影展示】例1在直角坐标系的单位圆中，，（1）画出角；（2）求出角的终边与单位圆的交点坐标；（3）求出角的正弦函数值、余弦函数值．（课本P14页例1） 分析：只需求出交点坐标，套用定义即可求解． 变式训练1判断与的符号，并通过计算进行验证． 【投影展示】例2已知角终边上一点，求角的正弦函数值、余弦函数值． 分析：该点并不是角的终边与单位圆的交点，所以应先计算，再利用，求解． 解：， 所以，． 【投影展示】变式训练2已知角终边上一点，求角的正弦函数值、余弦函数值． 【投影展示】变式训练3已知角终边与直线重合，求角的正弦函数值、余弦函数值．若去掉“”这个条件呢？ 说明：变式2中由于未注明的正、负，故需分情况讨论，旨在让同学们学会分类讨论思想，而变式3中并没有给出终边上一点的坐标，需要自己任意选取一特殊点的坐标求解，也可以作出单位圆与该射线或直线的交点，借助方程组的思想求出交点坐标，套用定义求解． （四）反思升华 由学生自己从以下三方面进行反思小结，教师从知识层面和思想方法层面帮助学生整理本节课的小节： ①本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同？ ②你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? ③正弦函数与余弦函数的定义在应用时应注意什么呢？ （五）作业布置 【投影展示】课本P16页练习3，4，5填书上，P20页A组1，3，做作业本上． 补充作业：已知角终边与直线重合，求的值． （六）板书设计 五、教学反思 本节课整体效果是不错的，从熟知的初中的锐角三角函数到高中的任意三角函数，从旧知识到新知的扩展，对学生来讲较容易接受．课堂中的变式训练也使新知识能够以充分的应用，锻炼了学生的思维能力、考虑问题周密性，整节课学生始终处于探索与应用中． 2 1.41.任意角的正弦函数、余弦函数 例1 例2 定义： 符号法