2015-2016北京市海淀区高三上学期期末数学理科.docx

海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学（理科） 2016.1阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题案ABDCACDD二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.题号91011121314答案②；说明：第9，14题第一空3分，第二空2分三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）因为 …………………………….1分 …………………………….5分 （两个倍角公式，每个各2分） …………………………….6分所以函数的最小正周期.…………………………….7分（Ⅱ）因为，所以，所以.………………………….8分 当时，函数取得最小值;…………………………….10分当时，函数取得最大值,…………………………….12分因为,所以函数在区间上的最大值与最小值的和为.…………………………….13分16.解：（Ⅰ）设持续天为事件，用药持续最多一个周期为事件， …………………………….1分 所以， …………………………….5分 则.…………………………….6分 法二：设用药持续最多一个周期为事件，则为用药超过一个周期， …………………………….1分 所以,…………………………….3分 所以.…………………………….6分（Ⅱ）随机变量可以取 ， …………………………….7分 所以 , ,…………………………….11分 所以.…………………………….13分 17．解：（Ⅰ）过点作，交于,连接,因为，所以.…………………………….1分又，，所以.…………………………….2分所以为平行四边形, 所以.…………………………….3分又平面，平面,………………….4分（一个都没写的，则这1分不给）所以平面.…………………………….5分（Ⅱ）因为梯形中，，, 所以.因为平面，所以,如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系,…………………………….6分所以.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,因为所以，即，…………………………….7分取得到,…………………………….8分同理可得, …………………………….9分所以,…………………………….10分因为二面角为锐角，所以二面角为.…………………………….11分（Ⅲ）假设存在点，设，所以,…………………………….12分所以，解得,…………………………….13分所以存在点，且.…………………………….14分18．解：（Ⅰ）因为,所以，…………………………….1分当时，.…………………………….2分令 ， 得 ，…………………………….3分所以随的变化情况如下表：极大值极小值 …………………………….6分所以在处取得极大值，在处取得极小值.…………………………….7分函数的单调递增区间为，, 的单调递减区间为.…………………………….8分（Ⅱ）证明： 不等式在区间上无解，等价于在区间上恒成立，即函数在区间上的最大值小于等于1. 因为，令，得. …………………………….9分因为时，所以.当时，对成立，函数在区间上单调递减，……………………….10分所以函数在区间上的最大值为,所以不等式在区间上无解；…………………………….11分当时，随的变化情况如下表：↘极小值↗所以函数在区间上的最大值为或.……………………………….12分此时, ，所以 .综上，当时，关于的不等式在区间上无解.…………………………….13分 19．解：（Ⅰ）因为椭圆的左顶点在圆上，令，得，所以. …………………………….1分又离心率为，所以，所以,…………………………….2分所以,…………………………….3分所以的方程为. …………………………….4分（Ⅱ）法一：设点，设直线的方程为，…………………………….5分与椭圆方程联立得, 化简得到, …………………………….6分因为为上面方程的一个根，所以，所以. …………………………….7分所以. …………………………….8分因为圆心到直线的距离为，…………………………….9分所以,…………………………….10分因为，…………………………….11分代入得到 .…………………………….13分显然，所以不存在直线，使得.…………………………….14分法二：设点，设直线的方程为，…………………………….5分与椭圆方程联立得化简得到, 由得.…………………………….6分显然是上面方程的一个根，所以另一个根，即.…………………………….7分由，…………………………….8分因为圆心到直线的距离为，…………………………….9分所以.…………………………….10分因为，…………………………….11分代入得到,…………………………….13分若