北师大八年级下册1.4角平分线(二)教学设计.doc

第一章证明 ．角平分线1．知识目标：1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论． 角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用． 2．能力目标：1）进一步发展学生的推理证明意识和能力． 培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力． 提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力． 第一环节：设置情境问题，搭建探究平台第环节：展示思维过程，构建探究平台第环节：例题讲解第环节：课时小结第环节：课后作业第一环节：设置情境问题，搭建探究平台 问题l 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?三角形的三个内角的角平分线交于一点 ． 第环节：展示思维过程，构建探究平台已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P， 证明：P点在∠BAC的角平分线上． 证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足． ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)． 同理：PE=PF． ∴PD=PF． ∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)． ∴△ABC的三条角平分线相交于点P． 在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，? （PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点 钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等 问题2 如图：直线1、2、3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的? 要求学生思考、交流。实况如下： [生]有一处．在三条公路的交点A、B、C组成的△ABC三条角平分线的交点处．因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等．而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等．这一点刚好符合． [生]我找到四处．(同学们很吃惊)除了刚才同学找到的三角形ABC内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到1、、的距离相等．同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P3；因此满足条件共4个，分别是P、P1、P2、P3 教师讲评。 第环节：例题讲解 [例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． (1)已知CD=4 cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD．分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长．第(2)问中，求证AB=AC+CD．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE． (1)解：∵AD是△ABC的角平分线， ∠C=90°，DE⊥AB． ∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)． ∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)． ∵∠C=90°， ∴∠B=×90°=45°． ∴∠BDE=90°—45°45°． ∴BE=DE(等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE中 BD=2DE2.=4 2 cm(勾股定理)， ∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm． (2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理) ∴AC=AE． ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD． [例2]已知：如图，P是么AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D． 求证：(1)OC=OD； (2)OP是CD的垂直平分线． 证明：(1)P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)． 在Rt△OPC和Rt△OPD中， OP=OP，PC=PD， ∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理)． ∴OC=OD(全等三角形对应边相等)． (2)又OP是∠AOB的角平分线， ∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形