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凸集凸函数定理1.4.3
第1章 引言 1.1 科学简述 1.2 线性与非线性规划问题 1.3 几个数学概念 1.4 凸集和凸函数 1.4.1 凸集 1.4.2 凸集分离定理 1.4.3 凸函数 1.4.4 凸函数的判别 1.4.5 凸规划 定理1.4.3 设 是 中的非空闭凸集, ,则存在非零向量 及数 ,使得对每个点 ,成立 . 证明 由于 为闭凸集, ,则由定理1.4.2知,存在 ,使 (1.4.9) 令 .下面证明,这样确定 和 后,对每一点 ,必然满足 ,即 . 由于 (1.4.10) 因此需证明 . 在 与 连线上取一点 ,则 由此可知 (1.4.11) 令 ,则由(1.4.11)式得出 (1.4.12) 由(1.4.10)式和(1.4.12)式知 ,即 定理1.4.3表明,当 为闭凸集, 时, 与 是可分离的.显然,当 为非空凸集,不一定为闭集, 时,定理结论也是成立的.这里 表示集和 的闭包(由 的内点和边界点组成的集和). 最优化理论与算法 1.4 凸集和凸函数 1.4.2 凸集分离定理 1.4.2 凸集分离定理 1.4.2 凸集分离定理 1.4.2 凸集分离定理 1.4.2 凸集分离定理
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