1.4群的各种子集.ppt

* 本节开始介绍群的一些其他概念 1. 注意：乘积规则是群的最重要性质，若给子集定义新的乘积规则（与原群不同）， 那么子集就与原群脱离关系，即使子集构成群也不能称为原群的子群 充要条件 对应群的四个条件 结合律显然满足：子集元素满足原群元素的乘积规则，显然满足结合律 注：子群中必有恒元，不含恒元的子集一定不是子群。这事否定子集为子群的最简单盘踞 对有限群，前面关于生成元的介绍时提及，有限群可以由某一元素R的周期不断扩展而成，R的周期是循环群，因此，有限群必定包含循环子群 群G阶为g，说明G是有限群 所有性质的证明都以左陪集为例，反证法证明，右陪集同理 即 当两个左陪集有一个公共元素时，两个左陪集完全重合 上面证明中，把群G的元素分成其子群和左陪集的做法，提供了一种把群G分割为不相交子集的方法 这是一种很有用的分割方法 同样也可以将G分割成子群和右陪集串 以上证明均以左陪集为例，右陪集同理，可自行练习证明 一般说来，Rj 生成的左陪集 RjH 与右陪集 HRj 不一定相同， 若子群的所有左陪集与所有右陪集相同，则该子群称为不变子群 说明 1，即不变子群的元素和群G中的元素不一定要对易，只要有一一对应的关系即可 左陪集：各列，每行{mx,my,su,sv} 各列顺序不同，但元素相同 右陪集：各行，每列 3）自证 4）重排定理 群中任一元素 与所有元素相称，乘积中相同群元素只出现一次 6）有兴趣可自证，有点难度 7）若有公共元素，则两个类完全相同 类似子群与陪集无公共元素，可将群G分割成其子群与相应左（右）陪集串 也可将群G按共轭类进行分割 互相共轭的元素存在某些共同性质，这是互相共轭元素称为类的原因 类的性质3）提及，同类元素的阶必相同，但阶数相同的元素不一定属于同一类 尽管如此，在寻找类时，我们只需在阶数相同的元素中去判断它们是否共轭 将共轭元素的概念扩展到共轭子群 由于共轭元素关系的对称性和传递性，可证明共轭子群也有对称性和传递性 1.4 群的各种子集 一、子群 1. 定义： 设H是群G的一个子集， 若对于与群G同样的乘积规则， H也构成一个群， 则称H为G的子群，常记为 证明群G的非空子集H是G的子群 充要条件： 1）封闭性 2）逆元 3）恒元 2. 常用几类子群 平庸（凡）子群（显然子群） 对任意群G，恒元E和整个群G本身都是G的子群 固有子群（真子群） 群的非平庸子群 （若无特殊说明，所说子群为真子群） 循环子群 任一元素的周期构成的子群 例： 1. 定义群的乘积规则为“数的加法”，则 整数群 实数群 （真子群） 2. 正方形对称群中 {E,C4,C42,C43}是一个循环子群 二、陪集和不变子群 1. 陪集（旁集） 定义：设群G的阶为g，有子群H的阶为h H={S1,S2,...,Sh}, S1=E 任取群G中不属于子群H的元素Rj， 把它左乘或右乘到子群H上，得到群G的两个子集 RjH={Rj,RjS2,...,RjSh} HRj={Rj,S2Rj,...,ShRj}, 则RjH称为子群H的左陪集 HRj 右陪集 G H Rj 2. 陪集的性质 （1）H的两个左（右）陪集，要么有完全相同的元素 要么没有任何公共元素 ——陪集定理 证明：设 则由R1,R2生成H两个左陪集 假设两个左陪集有一个公共元素，即 由重排定理，TG=G，对子群同样适用 若两个左陪集有一个公共元素，则两个左陪集完全相同 （2）陪集与子群没有公共元素 证明：假设左陪集与子群有公共元素 与前提 矛盾 注意：陪集中不包含恒元，即陪集一定不是群G的子群 （3）陪集中没有重复元素 证明：若有重复元素 与H中无重复元素矛盾 （4）群G的阶g一定是子群H的阶h的整数倍 ——拉格朗日定理 证明：任取 作左陪集 R1H （不是群） 陪集