人教版高中数学必修四(1.4.2-1函数的周期性).ppt

* 第一课时 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 问题提出 1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什么？二者有何相互联系？ y -1 x O 1 π 2π 3π 4π 5π 6π -2π -3π -4π -5π -6π -π y=sinx x y O 1 -1 y=cosx 2.世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质. 知识探究（一）：周期函数的概念 思考1：由正弦函数的图象可知, 正弦曲线每相隔2π个单位重复出现， 这一规律的理论依据是什么？ . 思考2：设f(x)=sinx，则 可以怎样表示？其数学意义如何？ 思考3：为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为这个函数的周期.一般地，如何定义周期函数？ 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期. 思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦函数的周期有哪些？ 思考5：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函数的最小正周期是多少？ 正、余弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π． 思考6：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？ 知识探究（二）：周期概念的拓展 思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为周期函数？函数f(x)=sinx（x≤0）是否为周期函数？ 思考2：函数f(x)=sinx（x ≠ 0）是否为周期函数？函数f(x)=sinx（x≠3kπ）是否为周期函数？ 思考3：函数f(x)=sinx，x∈[0，10π]是否为周期函数？周期函数的定义域有什么特点？ 思考4：函数y=3sin(2x＋4)的最小正周期是多少？ 思考5：一般地，函数 的最小正周期是多少? 思考6：如果函数y=f(x)的周期是T，那么函数y=f(ωx＋φ)的周期是多少？ 理论迁移 例2 求下列函数的周期： （1）y=3cosx; x∈R （2）y=sin2x，x∈R； （3） ， x∈R ； （4）y=|sinx| x∈R. 例3 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？ 例4 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2]时，f(x)=x－4，求f(10)的值. 小结作业 1.函数的周期性是函数的一个基本性质，判断一个函数是否为周期函数，一般以定义为依据，即存在非零常数T，使f(x＋T)=f(x)恒成立. 2.周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一定存在最小正周期. 3.周期函数的周期有许多个，若T为周期函数f(x)的周期，则T的整数倍也是f(x)的周期. 4.函数 和 的最小正周期都是 ，这是正、余弦函数的周期公式，解题时可以直接应用. 作业：P36练习：1，2，3. *