1.4+希尔伯特空间.ppt

§4　希尔伯特空间 一、内积空间 内积空间是一种极为重要的特殊线性赋范空间. 在这类空间中可以引入正交概念和投影概念,从而把 维欧几里得空间的几何学拓广到无限维空间中去. 定义1:若对于实数域或复数域 上的线性空间 中的每对元素 ,在域 中有一数与它们对应,记为 ,这个数满足下列公理: (1) ,其中 表示 的共轭复数; (2) , ; (3) ; (4) ,当且仅当 时才有 . 那么称此数 为元素 与 的内积,定义了内积 的线性空间称为内积空间.当 是实(复)数时,称为实 (复)的内积空间. 由此定义可得到内积的如下性质: 性质1: 性质2: 定理1( 不等式) :设 是内积空间,则对 中的任何元素 ,有不等式 当且仅当 与 线性相关时,式中等号才成立. 定理2:设 是内积空间, ,令 那么, 成为 的范数. 定理3: 设 是内积空间,那么对任何 ,有 (*) 说明:(*)式称为平行四边形公式,它是内积空间中范数的特征性质. 指出:可以证明,如果线性赋范空间 中的任何元素 满足平行四边形公式,那么必可在 中定义内 积,使范数 就是由内积导出的范数. 不是任何线性赋范空间都可如此定义内积 例: 的范数 ,取 , 则 ,且 ,但因为 所以, ,因而平行四边形公式不 成立. 所以 不是内积空间. 由范数引出距离 以后,在内积空间中,极限,收敛等概念都是按这个范 数引出的距离而言. 定理4:在内积空间中,若 ,则有 定义2:完备的内积空间称为希尔伯特( )空间. 例: 维(实的或复的)欧几里得空间 是 空间 内积: 范数: 距离: 例: 是 空间 内积: 范数: 距离: 二、希尔伯特空间中的正交展开 欧几里得空间是有限维 空间,下面来讨 论把欧氏空间中任意元素对于正交标准基的展开这 一概念拓广到 空间中来. 定义3:内积空间中的元素 ,若其范数 则称 为标准元素.若 中的元素 、 的内 积 ,则 称 与正交. 定义4:设 是内积空间 中的一列元素(有限或无限),若满足 则称 是内积空间 的正交标准化系。 例：实 维欧氏空间中 组成正交标准化系。 例：在实 中，规定内积为 这样： 是 的正交标准化系。 引理1：内积空间中的元素 为线性相关的充要条件是格拉姆（ ）行列式： 性质1：正交标准化系中的元素线性无关。 性质2：设 彼此正交，则 引理2：设 是内积空间 中有限或可列正交标准 化系，那么，对每个 ，成立不等式 称为贝塞尔（ ）不等式。 定义5：设 是内积空间 中的正交标准化系，如果除了零元素之外，在 中不再有与系中所有元素正交的元素存在，那么，称这系为空间 的完全系，否则称为非完全系。 因此，如