北京师大附中2011-2012学年第二学期高三年级开学检测数学试卷(理科).doc

北京师大附中2011-2012学年第二学期高三年级开学检测数学试卷（理科） （本试卷共150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 设集合，，若，则实数的值为（ ） A. －C. －6（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知平面向量，，与垂直，则是（ ） A. 1 B. 2 C. －－ B. C. 2 D. 6 5. 设直线与的方程分别为与，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 下列命题中（ ） ①三点确定一个平面； ②若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直； ③同时垂直于一条直线的两条直线平行； ④底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的表面积为12。 正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 双曲线的渐近线与圆相切，则等于（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 8. 已知集合， 。若存在实数，使得成立，称点为“￡”点，则“￡”点在平面区域内的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。 9. 的展开式中的系数是 。（用数字作答） 10. 在平面直角坐标系中，不等式组，所表示的平面区域的面积是16，则实数的值为 。 11. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是8，则从集合中所有满足条件的值为 。 12. 对于数列，如果存在最小的一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列是周期为的周期数列。 设，周期为的数列前项的和分别记为，则三者的关系式是 。 13. 已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为，且它们在上的图像如图所示，则不等式的解集是 。 14. 设函数，，，，则方程有 个实数根。 三、解答题：本大题共6个小题，共80分。解答题写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15. 已知函数。 （1）求函数的最小正周期； （2）若是的内角的对边，，，且是函数在上的最大值，求：角，角及边的大小。 16. 如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点。 （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的大小。 17. 有甲、乙等7名选手参加一次讲演比赛，采用抽签的方式随机确定每名选手的演出顺序（序号为1，2，…，7）。 （1）甲选手的演出序号是1的概率； （2）求甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率； （3）求甲、乙两名选手之间的演讲选手个数的分布列与期望。 18. 已知函数，在点处的切线与直线平行。 （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最小值。 19. 椭圆：的左、右焦点分别是，，过斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列。 （1）求证：； （2）设点在线段的垂直平分线上，求椭圆的方程。 20. 正数列的前项和满足：，，常数 （1）求证：是一个定值； （2）若数列是一个周期数列，求该数列的周期； （3）若数列是一个有理数等差数列，求。 参考答案 一、选择题 1-5 BDDCB 6-8 BAA 二、填空题 9. 5 10. 2 11. 0 12. 13. 14. 三、解答题 15. 解：（1）， （2）∵.∴，∴的最大值为3。 ∴，∵为三角形内角，∴ 又，得，∵，∴ 由，得，∴ 16. 解法一：（1）证明：∵，分别是线段，的中点，∴。 又∵平面，平面， ∴平面。 （2）解，∵为的中点，且，∴， 又∵底面，底面，∴。 又∵四边形为正方形，∴。 又∵，∴平面。 又∵平面，∴。 又∵，∴平面。 （3）∵平面，平面，∴平面平面， ∵平面，平面平面=，， ∴平面，∵分别是线段的中点， ∴，∴平面。∵平面，平面， ∴，∴， ∴就是二面角的平面角。 在中，， ∴，所以二面角的大小为。 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系， ∴。 （1）证明：∵，， ∴ ∵平面，且平面， ∴平面。 （2）解：，，， ， 。 ∴ 又∵∴平面。 （3） 设平面的法向量为， 因为，， 则取。 又因为平面的法向量为， 所以， ∴，所以二面角的