相似三角形证明及综合题答案1.doc

相似三角形证明及综合题 1、如图，在中，，分别以为边向外作和，使．延长交边于点，点在两点之间，连结． （1）求证：． （2）当时，求的度数． 【答案】 （1）证明：在平行四边形ABCD中，AB=DC. 又∵DF=DC， ∴AB=DF. 同理EB=AD. 在平行四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC. 又∵∠EBC=∠CDF， ∴∠ABE=∠ADF， ∴△ABE≌△FDA.（4分） （2）解：∵△ABE≌△FDA， ∴∠AEB=∠DAF. ∵∠EBH=∠AEB+∠EAB, ∴∠EBH=∠DAF+∠EAB. ∵AE⊥AF，∴∠EAF=90°. ∵∠BAD=32°， ∴∠DAF+∠EAB=90°-32°=58°， ∴∠EBH=58°. 2、(2009武汉)如图1，在中，，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点． （1）求证：； （2）当为边中点，时，如图2，求的值； （3）当为边中点，时，请直接写出的值． 【关键词】相似三角形的判定和性质 【答案】解：（1），． ． ， ，． ； （2）解法一：作，交的延长线于． ，是边的中点，． 由（1）有，， ． ，， 又，． ，． ，，， ，． 解法二：于， ．． 设，则， ． ， ． 由（1）知，设，，． 在中，． ．． （3）． 3、(2009年上海市)已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）． （1）当AD=2，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长； （2）在图中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，，其中表示△APQ的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小． 【关键词】等腰直角三角形 相似三角形 共高三角形的面积 直角三角形相似的判定 【答案】（1）∵Rt△ABD中，AB=2，AD=2， ∴=1，∠D=45° ∴PQ=PC即PB=PC， 过点P作PE⊥BC，则BE=。 而∠PBC=∠D=45° ∴PC=PB= （2）在图8中，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB于点F。 ∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE ∴Rt△ABD∽Rt△EPB ∴ 设EB=3k，则EP=4k，PF=EB=3k ∴， = ∴ 函数定义域为 （3）答：90° 证明：在图8中，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB于点F。 ∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE ∴Rt△ABD∽Rt△EPB ∴ ∴= ∴Rt△PQF∽Rt△PCE ∴∠FPQ=∠EPC ∴∠EPC+∠QPE=∠FPQ+∠QPE=90° 4、(2009年安顺)如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。 求抛物线的解析式； 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积； △AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 【关键词】待定系数法，相似三角形判定和性质 【答案】（1）∵抛物线与轴交于点（0，3）， ∴设抛物线解析式为 根据题意，得，解得 ∴抛物线的解析式为 (5′) (2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4） 设对称轴与x轴的交点为F ∴四边形ABDE的面积= = ==9 （3）似 如图，BD=；∴BE= DE= ∴, 即： ,所以是直角三角形 ∴,且, ∴∽ 5、（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线BC经过点，，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q． （1）四边形OABC的形状是 ， 当时，的值是 ； （2）①如图2，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值； ②如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积． （3）在四边形OABC旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【关键词】相似三角形有关的计算和证明 【答案】解：（1）矩形（长方形）； ． （2）①，， ． ，即， ，． 同理， ，即， ，． ． ②在和中， ． ． 设， 在中， ，解得． ． （3）存在这样的点和点，使． 点的坐标是，． 对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求． 过点画于，连结，则， ，， ． 设， ， ， 如图1，当点P在点B左侧时， ， 在中，， 解得，（不符实际，舍去）． ， ． ②如图2，当点P在点B右侧时， ，． 在中，，解得． ， ． 综上可知，存在点，，使． 6、(2009年义乌)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=