相似三角形证明及综合题答案1.doc

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相似三角形证明及综合题答案1

相似三角形证明及综合题 1、如图,在中,,分别以为边向外作和,使.延长交边于点,点在两点之间,连结. (1)求证:. (2)当时,求的度数. 【答案】 (1)证明:在平行四边形ABCD中,AB=DC. 又∵DF=DC, ∴AB=DF. 同理EB=AD. 在平行四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC. 又∵∠EBC=∠CDF, ∴∠ABE=∠ADF, ∴△ABE≌△FDA.(4分) (2)解:∵△ABE≌△FDA, ∴∠AEB=∠DAF. ∵∠EBH=∠AEB+∠EAB, ∴∠EBH=∠DAF+∠EAB. ∵AE⊥AF,∴∠EAF=90°. ∵∠BAD=32°, ∴∠DAF+∠EAB=90°-32°=58°, ∴∠EBH=58°. 2、(2009武汉)如图1,在中,,于点,点是边上一点,连接交于,交边于点. (1)求证:; (2)当为边中点,时,如图2,求的值; (3)当为边中点,时,请直接写出的值. 【关键词】相似三角形的判定和性质 【答案】解:(1),. . , ,. ; (2)解法一:作,交的延长线于. ,是边的中点,. 由(1)有,, . ,, 又,. ,. ,,, ,. 解法二:于, .. 设,则, . , . 由(1)知,设,,. 在中,. .. (3). 3、(2009年上海市)已知∠ABC=90°,AB=2,BC=3,AD∥BC,P为线段BD上的动点,点Q在射线AB上,且满足(如图1所示). (1)当AD=2,且点与点重合时(如图2所示),求线段的长; (2)在图中,联结.当,且点在线段上时,设点之间的距离为,,其中表示△APQ的面积,表示的面积,求关于的函数解析式,并写出函数定义域; (3)当,且点在线段的延长线上时(如图3所示),求的大小. 【关键词】等腰直角三角形 相似三角形 共高三角形的面积 直角三角形相似的判定 【答案】(1)∵Rt△ABD中,AB=2,AD=2, ∴=1,∠D=45° ∴PQ=PC即PB=PC, 过点P作PE⊥BC,则BE=。 而∠PBC=∠D=45° ∴PC=PB= (2)在图8中,过点P作PE⊥BC,PF⊥AB于点F。 ∵∠A=∠PEB=90°,∠D=∠PBE ∴Rt△ABD∽Rt△EPB ∴ 设EB=3k,则EP=4k,PF=EB=3k ∴, = ∴ 函数定义域为 (3)答:90° 证明:在图8中,过点P作PE⊥BC,PF⊥AB于点F。 ∵∠A=∠PEB=90°,∠D=∠PBE ∴Rt△ABD∽Rt△EPB ∴ ∴= ∴Rt△PQF∽Rt△PCE ∴∠FPQ=∠EPC ∴∠EPC+∠QPE=∠FPQ+∠QPE=90° 4、(2009年安顺)如图,已知抛物线与交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与轴交于点B(0,3)。 求抛物线的解析式; 设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积; △AOB与△DBE是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。 【关键词】待定系数法,相似三角形判定和性质 【答案】(1)∵抛物线与轴交于点(0,3), ∴设抛物线解析式为 根据题意,得,解得 ∴抛物线的解析式为 (5′) (2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4) 设对称轴与x轴的交点为F ∴四边形ABDE的面积= = ==9 (3)似 如图,BD=;∴BE= DE= ∴, 即: ,所以是直角三角形 ∴,且, ∴∽ 5、(2009年宁波市)如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为,直线BC经过点,,将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形,此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q. (1)四边形OABC的形状是 , 当时,的值是 ; (2)①如图2,当四边形的顶点落在轴正半轴时,求的值; ②如图3,当四边形的顶点落在直线上时,求的面积. (3)在四边形OABC旋转过程中,当时,是否存在这样的点P和点Q,使?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 【关键词】相似三角形有关的计算和证明 【答案】解:(1)矩形(长方形); . (2)①,, . ,即, ,. 同理, ,即, ,. . ②在和中, . . 设, 在中, ,解得. . (3)存在这样的点和点,使. 点的坐标是,. 对于第(3)题,我们提供如下详细解答,对学生无此要求. 过点画于,连结,则, ,, . 设, , , 如图1,当点P在点B左侧时, , 在中,, 解得,(不符实际,舍去). , . ②如图2,当点P在点B右侧时, ,. 在中,,解得. , . 综上可知,存在点,,使. 6、(2009年义乌)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动,设AP=

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