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相似三角形证明及综合题答案1
相似三角形证明及综合题
1、如图,在中,,分别以为边向外作和,使.延长交边于点,点在两点之间,连结.
(1)求证:.
(2)当时,求的度数.
【答案】
(1)证明:在平行四边形ABCD中,AB=DC.
又∵DF=DC,
∴AB=DF.
同理EB=AD.
在平行四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC.
又∵∠EBC=∠CDF,
∴∠ABE=∠ADF,
∴△ABE≌△FDA.(4分)
(2)解:∵△ABE≌△FDA,
∴∠AEB=∠DAF.
∵∠EBH=∠AEB+∠EAB,
∴∠EBH=∠DAF+∠EAB.
∵AE⊥AF,∴∠EAF=90°.
∵∠BAD=32°,
∴∠DAF+∠EAB=90°-32°=58°,
∴∠EBH=58°.
2、(2009武汉)如图1,在中,,于点,点是边上一点,连接交于,交边于点.
(1)求证:;
(2)当为边中点,时,如图2,求的值;
(3)当为边中点,时,请直接写出的值.
【关键词】相似三角形的判定和性质
【答案】解:(1),.
.
,
,.
;
(2)解法一:作,交的延长线于.
,是边的中点,.
由(1)有,,
.
,,
又,.
,.
,,,
,.
解法二:于,
..
设,则,
.
,
.
由(1)知,设,,.
在中,.
..
(3).
3、(2009年上海市)已知∠ABC=90°,AB=2,BC=3,AD∥BC,P为线段BD上的动点,点Q在射线AB上,且满足(如图1所示).
(1)当AD=2,且点与点重合时(如图2所示),求线段的长;
(2)在图中,联结.当,且点在线段上时,设点之间的距离为,,其中表示△APQ的面积,表示的面积,求关于的函数解析式,并写出函数定义域;
(3)当,且点在线段的延长线上时(如图3所示),求的大小.
【关键词】等腰直角三角形 相似三角形 共高三角形的面积 直角三角形相似的判定
【答案】(1)∵Rt△ABD中,AB=2,AD=2,
∴=1,∠D=45°
∴PQ=PC即PB=PC,
过点P作PE⊥BC,则BE=。
而∠PBC=∠D=45°
∴PC=PB=
(2)在图8中,过点P作PE⊥BC,PF⊥AB于点F。
∵∠A=∠PEB=90°,∠D=∠PBE
∴Rt△ABD∽Rt△EPB
∴
设EB=3k,则EP=4k,PF=EB=3k
∴,
=
∴
函数定义域为
(3)答:90°
证明:在图8中,过点P作PE⊥BC,PF⊥AB于点F。
∵∠A=∠PEB=90°,∠D=∠PBE
∴Rt△ABD∽Rt△EPB
∴
∴=
∴Rt△PQF∽Rt△PCE
∴∠FPQ=∠EPC
∴∠EPC+∠QPE=∠FPQ+∠QPE=90°
4、(2009年安顺)如图,已知抛物线与交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与轴交于点B(0,3)。
求抛物线的解析式;
设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积;
△AOB与△DBE是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。
【关键词】待定系数法,相似三角形判定和性质
【答案】(1)∵抛物线与轴交于点(0,3),
∴设抛物线解析式为
根据题意,得,解得
∴抛物线的解析式为 (5′)
(2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)
设对称轴与x轴的交点为F
∴四边形ABDE的面积=
=
==9
(3)似
如图,BD=;∴BE=
DE= ∴,
即: ,所以是直角三角形
∴,且,
∴∽
5、(2009年宁波市)如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为,直线BC经过点,,将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形,此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q.
(1)四边形OABC的形状是 ,
当时,的值是 ;
(2)①如图2,当四边形的顶点落在轴正半轴时,求的值;
②如图3,当四边形的顶点落在直线上时,求的面积.
(3)在四边形OABC旋转过程中,当时,是否存在这样的点P和点Q,使?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【关键词】相似三角形有关的计算和证明
【答案】解:(1)矩形(长方形);
.
(2)①,,
.
,即,
,.
同理,
,即,
,.
.
②在和中,
.
.
设,
在中, ,解得.
.
(3)存在这样的点和点,使.
点的坐标是,.
对于第(3)题,我们提供如下详细解答,对学生无此要求.
过点画于,连结,则,
,,
.
设,
,
,
如图1,当点P在点B左侧时,
,
在中,,
解得,(不符实际,舍去).
,
.
②如图2,当点P在点B右侧时,
,.
在中,,解得.
,
.
综上可知,存在点,,使.
6、(2009年义乌)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动,设AP=
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