关于圆的压轴题.doc

关于圆的压轴题 1. 设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d． （1）如图①，当r＜a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表： d、a、r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r d＝a＋r a－r＜d＜a＋r d＝a－r d＜a－r 所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有　　　　　　　　　个； （2）如图②，当r＝a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表： d、a、r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r d＝a＋r a≤d＜a＋r d＜a 所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有　　　　　　　　个； （3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r＝a； （4）就r＞a的情形，请你仿照“当……时，⊙O与正方形的公共点个数可能有 　 　 个”的形式，至少给出一个关于“⊙O与正方形的公共点个数”的正确结论． [解] （1） d、a、r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r 0 d＝a＋r 1 a－r＜d＜a＋r 2 d＝a－r 1 d＜a－r 0 所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个； （2） d、a、r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r 0 d＝a＋r 1 a≤d＜a＋r 2 d＜a 4 所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个； （3）方法一：如图所示，连结OC则OE＝OC＝r ，OF＝EF－OE＝2a－r． 在Rt△OCF中，由勾股定理得： OF2＋FC2＝OC2 即（2a－r）2＋a2＝r2 4a2－4ar＋r2＋a2＝r2 5a2＝4ar 5a＝4r ∴r ＝a． （4）①当a＜r＜时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个； ②当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个； ③当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个； ④当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个； ⑤当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个． 2. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与轴相交于点A，与轴相交于点B。 （1）点P在运动时，线段AB的长度在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由； （2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。 [解] （1）线段AB长度的最小值为4 理由如下：连接OP 因为AB切⊙O于P，所以OP⊥AB 取AB的中点C，则 当OC,即当时，OC最短， 即AB最短，此时 （2）设存在符合条件的点Q， 如图①，设四边形APOQ为平行四边形， 因为OP又因为所以四边形APOQ为正方形 所以， 在Rt△OQA中，根据，得Q点坐标为（）。 如图②，设四边形APQO为平行四边形因为OQ∥PA，，所以，又因为所以， 因为 PQ∥OA，所以 轴。设轴于点H， 在Rt△OHQ中，根据，得Q点坐标为（） 所以符合条件的点Q的坐标为（）或（）。 3. 如图①②，在平面直角坐标系中，点的坐标为(4，0)，以点为圆心，4为半径的圆与轴交于两点，为弦，，是轴上的一动点，连结． （1）求的度数；（2）如图①，当与相切时，求的长；（3分） （3）如图②，当点在直径上时，的延长线与相交于点，问为何值时，是等腰三角形？） 解：（1）∵，，∴是等边三角形． ∴． （2）∵CP与相切，∴． ∴． 又∵（4，0），∴．∴． ∴． （3）①过点作，垂足为，延长交于， ∵是半径， ∴，∴，∴是等腰三角形．又∵是等边三角形，∴=2 ②解法一：过作，垂足为，延长交于，与轴交于， ∵是圆心， ∴是的垂直平分线． ∴．∴是等腰三角形， 过点作轴于，在中，∵， ∴．∴点的坐标（4+，）． 在中，∵，∴．∴点坐标（2，）．　设直线的关系式为：，则有 解得：∴．当时，．∴．　解法二： 过A作，垂足为，延长交于，与轴交于， ∵是圆心， ∴是的垂直平分线． ∴．∴是等腰三角形．∵，∴．∵平分，∴． ∵是等边三角形，， ∴． ∴． ∴是等腰直角三