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关于圆的压轴题
关于圆的压轴题
1. 设边长为2a的正方形的中心A在直线l上,它的一组对边垂直于直线l,半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动,点A、O间距离为d.
(1)如图①,当r<a时,根据d与a、r之间关系,将⊙O与正方形的公共点个数填入下表:
d、a、r之间关系 公共点的个数 d>a+r d=a+r a-r<d<a+r d=a-r d<a-r 所以,当r<a时,⊙O与正方形的公共点的个数可能有 个;
(2)如图②,当r=a时,根据d与a、r之间关系,将⊙O与正方形的公共点个数填入下表:
d、a、r之间关系 公共点的个数 d>a+r d=a+r a≤d<a+r d<a 所以,当r=a时,⊙O与正方形的公共点个数可能有 个;
(3)如图③,当⊙O与正方形有5个公共点时,试说明r=a;
(4)就r>a的情形,请你仿照“当……时,⊙O与正方形的公共点个数可能有
个”的形式,至少给出一个关于“⊙O与正方形的公共点个数”的正确结论.
[解] (1)
d、a、r之间关系 公共点的个数 d>a+r 0 d=a+r 1 a-r<d<a+r 2 d=a-r 1 d<a-r 0
所以,当r<a时,⊙O与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个;
(2)
d、a、r之间关系 公共点的个数 d>a+r 0 d=a+r 1 a≤d<a+r 2 d<a 4
所以,当r=a时,⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个;
(3)方法一:如图所示,连结OC则OE=OC=r ,OF=EF-OE=2a-r.
在Rt△OCF中,由勾股定理得:
OF2+FC2=OC2
即(2a-r)2+a2=r2
4a2-4ar+r2+a2=r2
5a2=4ar
5a=4r
∴r =a.
(4)①当a<r<时,⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个;
②当r=a时,⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个;
③当时,⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个;
④当时,⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个;
⑤当时,⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个.
2. 如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画⊙O,P是⊙O上一动点,且P在第一象限内,过点P作⊙O的切线与轴相交于点A,与轴相交于点B。
(1)点P在运动时,线段AB的长度在发生变化,请写出线段AB长度的最小值,并说明理由;
(2)在⊙O上是否存在一点Q,使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由。
[解] (1)线段AB长度的最小值为4
理由如下:连接OP
因为AB切⊙O于P,所以OP⊥AB
取AB的中点C,则
当OC,即当时,OC最短, 即AB最短,此时
(2)设存在符合条件的点Q,
如图①,设四边形APOQ为平行四边形,
因为OP又因为所以四边形APOQ为正方形
所以,
在Rt△OQA中,根据,得Q点坐标为()。
如图②,设四边形APQO为平行四边形因为OQ∥PA,,所以,又因为所以,
因为 PQ∥OA,所以 轴。设轴于点H,
在Rt△OHQ中,根据,得Q点坐标为()
所以符合条件的点Q的坐标为()或()。
3. 如图①②,在平面直角坐标系中,点的坐标为(4,0),以点为圆心,4为半径的圆与轴交于两点,为弦,,是轴上的一动点,连结.
(1)求的度数;(2)如图①,当与相切时,求的长;(3分)
(3)如图②,当点在直径上时,的延长线与相交于点,问为何值时,是等腰三角形?)
解:(1)∵,,∴是等边三角形. ∴. (2)∵CP与相切,∴. ∴.
又∵(4,0),∴.∴.
∴. (3)①过点作,垂足为,延长交于,
∵是半径, ∴,∴,∴是等腰三角形.又∵是等边三角形,∴=2 ②解法一:过作,垂足为,延长交于,与轴交于,
∵是圆心, ∴是的垂直平分线. ∴.∴是等腰三角形, 过点作轴于,在中,∵,
∴.∴点的坐标(4+,).
在中,∵,∴.∴点坐标(2,). 设直线的关系式为:,则有
解得:∴.当时,.∴. 解法二: 过A作,垂足为,延长交于,与轴交于,
∵是圆心, ∴是的垂直平分线. ∴.∴是等腰三角形.∵,∴.∵平分,∴.
∵是等边三角形,, ∴. ∴.
∴是等腰直角三
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