期末解答题精选答案.doc

1．已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半， 求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹． 解：（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P ．由两点距离公式，点M适合的条件可表示为 ，平方后再整理，得 ． 可以验证，这就是动点M的轨迹方程． （2）设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x1，y1）．由于A（2，0），且Ｎ为线段AM的中点，所以 ， ．所以有， ① 由（1）题知，M是圆上的点，所以M坐标（x1，y1）满足：② 将①代入②整理，得．所以N轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆 2.设点A、B的坐标分别为，（5,0）.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程。设点M的坐标为，因为点A的坐标是， 所以，直线AM的斜率（≠-5）（≠5）（≠±5），---11分 化简，得M的轨迹方程为 （≠±5）. -----------12 3． 中，底面是直角梯形，，， ，，平面，． （1）求证：平面 （2）求证：平面 （3）求二面角的平面角的正弦值． （1）证明：，且 平面平面 ∴平面. ………………………3分 （2）证明：在直角梯形中，过作于点，则四边形为矩形 ∴，又，∴，在Rt△中，， ∴， ∴， 则， ∴ ……6分 又 ∴ ……7分 平面∴平面 ………8分 （3）解：如图，分别以，，为轴，轴， 轴建立空间直角坐标系，则由题设可知： ，，， ………………………9分 ∴， 设m为平面的一个法向量， 则，即，设，则，∴m，…10分同理设n为平面的一个法向量，求得n． …………11分 ∴， ∴． …14分?4、如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求异面直线与所成角的大小； （Ⅲ）求点到平面的距离. 解：如图，作于点P, 分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立空间直角坐标系，则, (1)证明： 设平面OCD的法向量为,则 即 取,解得 ∵即 又∵ ∴ (2)解 设与所成的角为, ∴ ，∵，∴，即与所成角的大小为. (3)解 设点B到平面OCD的距离为，则为在向量上的投影的绝对值,由 , 得，即点B到平面OCD的距离为 5． 如图 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点．（）求证：ACBC1；（）求二面角的平面角的正切值． （）证明：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5， ∴ AC⊥BC， 又 AC⊥ ∴ AC⊥平面BCC1 ，平面BCC1∴ AC⊥BC1 …………6分 （）解法一：取中点，过作于，连接 …………7分 是中点，∴ 平面∴平面，平面平面 ∴∴且 ∴平面平面…9分 ∴ ∴是二面角的平面角………11分 AC＝3，BC＝4，AA1＝4， ∴中，，，∴ ∴二面角的正切值为………14分 解法二：以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系 AC＝3，BC＝4，AA1＝4， ∴ ，，， ∴，平面的法向量， 设平面的法向量， 则，的夹角补角的大小就是二面角的大小…………10分 则由，则， ∴ ，则1分 二面角∴二面角的正切值为 14分 经过点和,且圆心在直线上. (Ⅰ) 求圆的方程； （Ⅱ）若直线被圆所截得的弦长为,求实数的值. 解:(Ⅰ)解法一:设圆心,因为,所以, 解得………………………………………………………4分 所以圆心,半径 …………………………………………………6分 所以圆的方程为 …………………………………7分 解法二:设圆的方程为, …………………2分 依题意得,…………………5分 解得,所以圆的方程为 …………………7分 解法三:依题意易得线段的中垂线方程为,…………2分 联立方程组,解得,所以圆心,………5分 下同解法一. （Ⅱ）因为直线被圆所截得的弦长为, 所以圆心到直线的距离 ……………10分 ∴，解得 …………………………………13分 7．如图，在平行四边形中，，将它们沿对角线折起，折后的点变为，且．（1）求点到平面的距离；（2）为线段上的一个动点，当线段的 长为多少时,与平面所成的角为？ 解： 又 ∴AB⊥平面BC1D 依题意，建立空间直角坐标系B-xyz ……2分 ，则A(0,0,1),C1 (1,, 0),D(0, ,0)∴ 设 是的一个法向量， ∴，令y=1，∴ ……4分 ∴到平面的距离 …………6分 （2）设，则 ∴ 又是平面