20110517数学作业解答.doc

20110517数学作业(选做) 1．已知：向量，O为坐标原点，动点M满足：. (1)求点 M 的C 的方程、都过点，且，、与轨迹 C分别交于点D、E，试探究是否存在这样的直线？使得△BDE是等腰直角三角形.若存在，指出这样的直线共有几组(无需求出直线的方程)；若不存在，请说明理由. 2．已知椭圆心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、 三点（）求椭圆的方程（）点D为椭上不同、的任意一点，当内切圆的面积时求内切圆圆心的坐标（）直线与椭交于、两点，证明直线与直的交点在直线上．的前n项和为Sn，已知（1）求数列通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为的等差数列。（Ⅰ）求证：（Ⅱ）在数列中是否存在三项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由。 4. 已知函数f(x)=m(x－1)2－2x+3+lnx（m≥1）．(1)当时，求函数f(x)在区间[1，3]上的极小值；（2）求证：函数f(x)存在单调递减区间[a，b]；（3）是否存在实数m，使曲线C：y=f(x)在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由．学作业(选做) 1．已知：向量，O为坐标原点，动点M满足：. (1)求点 M 的C 的方程、都过点，且，、与轨迹 C分别交于点D、E，试探究是否存在这样的直线？使得△BDE是等腰直角三角形.若存在，指出这样的直线共有几组(无需求出直线的方程)；若不存在，请说明理由. 2．已知椭圆心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、 三点（）求椭圆的方程（）点D为椭上不同、的任意一点，当内切圆的面积时求内切圆圆心的坐标（）直线与椭交于、两点，证明直线与直的交点在直线上．的前n项和为Sn，已知（1）求数列通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为的等差数列。（Ⅰ）求证：（Ⅱ）在数列中是否存在三项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由。 4. 已知函数f(x)=m(x－1)2－2x+3+lnx（m≥1）．(1)当时，求函数f(x)在区间[1，3]上的极小值；（2）求证：函数f(x)存在单调递减区间[a，b]；（3）是否存在实数m，使曲线C：y=f(x)在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由． 参考解答 1．(1)解法１：设------------------------------ 1分 则=------ 4分 ∴动点M 的、为焦点，长轴长为 4的椭圆 -----------------5分 由 ∴ ----------------------------- 6分 ∴ 动点M 的轨迹 C的方程为 ---------------------------------7分 [解法２：设点， 则------------------------2分 ∵ ∴ ------------------------------ 4分 ∴点 M 的轨迹C是以为焦点，长轴长为 4 的椭圆 ------------5分 ∴ ∴ --------------------------6分 ∴ 动点M 的轨迹 C的方程为 ------------------7分] (2)由（1）知，轨迹C是椭圆，点是它的上顶点， 设满足条件的直线、存在，直线的方程为----① 则直线的方程为，-------------②--------------------------------------------------------------8分 将①代入椭圆方程并整理得：，可得，则.--9分 将②代入椭圆方程并整理得：，可得，则.---10分 由△BDE是等腰直角三角形得 ----③--------12分 ∴或-----④-----------------------------------------------------------------------13分 ∵方程④的根判别式，即方程④有两个不相等的实根，且不为1. ∴方程③有三个互不相等的实根. 即满足条件的直线、存在，共有3组．-----------------------------------------------------------14分 （注：只答存在1组，给2分） 2．解：（1）设椭圆方程为将、、代入椭圆E的方程，得解得. ∴椭圆的方程 （4分（），边上的高为 当点在的上顶点时最为，所以的最大值为． 的内切圆的半径为因为的周长为定值6．所以， 所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为（）将直线代入