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2015-2016第一学期中档题训练4
2015-2016学年度第一学期高三数学中档题训练4(12.24)
1.如图,一楼房高为米,某广告公司在楼顶安装一块宽为米的广告牌,为拉杆,广告牌的倾角为,安装过程中,一身高为米的监理人员站在楼前观察该广告牌的安装效果;为保证安全,该监理人员不得站在广告牌的正下方;设米,该监理人员观察广告牌的视角;
(1)试将表示为的函数;
(2)求点的位置,使取得最大值.
2.已知圆C:x2+y2=9,点A(﹣5,0),直线l:x﹣2y=0.
(1)求与圆C相切,且与直线l垂直的直线方程;
(2)在直线OA上(O为坐标原点),存在定点B(不同于点A),满足:对于圆C上任一点P,都有为一常数,试求所有满足条件的点B的坐标.
解析:()于,作于,交于,
作于,则;
在直角中,,,
则,;
在直角,;
在中;
∴
;
再由题意可知:监理人员只能在点右侧,即.………………………分
();令,则;
∴,
当且仅当即时,等号成立;此时,;
又易知:是锐角,即,而在是增函数;
∴当时,取最大值.………………………………………………… 14分 为一常数这一条件,以及P在圆上,列出关系,利用恒成立,可以求得结果.
解答: 解:(1)设所求直线方程为y=﹣2x+b,即2x+y﹣b=0,∵直线与圆相切,
∴,得,
所求直线方程为,
(2)方法1:假设存在这样的点B(t,0),
当P为圆C与x轴左交点(﹣3,0)时,;
当P为圆C与x轴右交点(3,0)时,,
依题意,,解得,t=﹣5(舍去),或.
下面证明点对于圆C上任一点P,都有为一常数.
设P(x,y),则y2=9﹣x2,
,
从而为常数.
方法2:假设存在这样的点B(t,0),使得为常数λ,则PB2=λ2PA2,
(x﹣t)2+y2=λ2[(x+5)2+y2],将y2=9﹣x2代入得,
x2﹣2xt+t2+9﹣x2=λ2(x2+10x+25+9﹣x2),
即2(5λ2+t)x+34λ2﹣t2﹣9=0对x∈[﹣3,3]恒成立,
,解得或(舍去),
所以存在点对于圆C上任一点P,都有为常数
4
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