2015-2016第一学期中档题训练4.doc

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2015-2016第一学期中档题训练4

2015-2016学年度第一学期高三数学中档题训练4(12.24) 1.如图,一楼房高为米,某广告公司在楼顶安装一块宽为米的广告牌,为拉杆,广告牌的倾角为,安装过程中,一身高为米的监理人员站在楼前观察该广告牌的安装效果;为保证安全,该监理人员不得站在广告牌的正下方;设米,该监理人员观察广告牌的视角; (1)试将表示为的函数; (2)求点的位置,使取得最大值. 2.已知圆C:x2+y2=9,点A(﹣5,0),直线l:x﹣2y=0. (1)求与圆C相切,且与直线l垂直的直线方程; (2)在直线OA上(O为坐标原点),存在定点B(不同于点A),满足:对于圆C上任一点P,都有为一常数,试求所有满足条件的点B的坐标. 解析:()于,作于,交于, 作于,则; 在直角中,,, 则,; 在直角,; 在中; ∴ ; 再由题意可知:监理人员只能在点右侧,即.………………………分 ();令,则; ∴, 当且仅当即时,等号成立;此时,; 又易知:是锐角,即,而在是增函数; ∴当时,取最大值.………………………………………………… 14分 为一常数这一条件,以及P在圆上,列出关系,利用恒成立,可以求得结果. 解答: 解:(1)设所求直线方程为y=﹣2x+b,即2x+y﹣b=0,∵直线与圆相切, ∴,得, 所求直线方程为, (2)方法1:假设存在这样的点B(t,0), 当P为圆C与x轴左交点(﹣3,0)时,; 当P为圆C与x轴右交点(3,0)时,, 依题意,,解得,t=﹣5(舍去),或. 下面证明点对于圆C上任一点P,都有为一常数. 设P(x,y),则y2=9﹣x2, , 从而为常数. 方法2:假设存在这样的点B(t,0),使得为常数λ,则PB2=λ2PA2, (x﹣t)2+y2=λ2[(x+5)2+y2],将y2=9﹣x2代入得, x2﹣2xt+t2+9﹣x2=λ2(x2+10x+25+9﹣x2), 即2(5λ2+t)x+34λ2﹣t2﹣9=0对x∈[﹣3,3]恒成立, ,解得或(舍去), 所以存在点对于圆C上任一点P,都有为常数 4

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