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高三数学第二轮复习课件:立体几何解答题的解法
1.近三年高考各试卷立体几何考查情况统计 立体几何在每一年高考中都有一个解答题,这是不变的,主要考查空间位置关系(线线、线面及面面的平行与垂直)及空间量(线线角、线面角、面面角、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离),一般以三棱柱、四棱柱或三棱锥、四棱锥为载体进行考查,如在2007年高考各地的19套试卷中,有9道锥体或涉及锥体,7道柱体,2道折叠题.当然,也有不规则几何体,如2006湖南卷的八面体,2007江西卷的不规则体.2007年19套试卷中,有11道题涉及到二面角的求法,6道涉及线面角求法,15道涉及垂直关系的证明.由此可知,线面位置关系证明依然是命题方向,角的计算依然是不老的话题. 2.主要特点 (1)解答题的考查稳中求新,稳中求活. 解答题在考查中经常涉及的知识及题型有:①证明“平行”和“垂直”;②求多面体的体积;③三种角的计算;④有关距离的计算;⑤多面体表面积或体积的计算.这类问题的解法主要是化归思想,如两条异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角,面面距离转化为线面距离,再转化为点面距离等.但近几年来,也推出了一些新题型,一是开放性试题,也是探索性的问题,如2006年的湖北卷第18题;二是立体几何中的函数问题,如2007年广东卷第19题. (2)依托知识,考查能力. 由于近几年加强了对能力的考查,因此应重视空间想象能力、逻辑思维能力、化归转化能力的培养,因高考数学是通过知识考能力,本章尤其突出的是空间想象能力,而空间想象能力并不是漫无边际的胡想,而应以题设为根据,以某一几何体为依托,这样会更好的帮助你解决实际问题,提高解题能力. (3)一题两法,支持新课程改革. 立体几何解答题的设计,注意了求解方法既可用向量方法处理,又可用传统的几何方法解决,并且向量方法比用传统方法解决较为简单,对中学数学教学有良好的导向作用,符合数学教材改革的要求,有力地支持了新课程的改革. 1.平行、垂直位置关系的论证 证明空间线面平行或垂直需要注意以下几点: (1)理清平行、垂直位置关系的相互转化. (2)由已知想性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合 寻找证题思路. (3)立体几何论证题的解答中,利用题设条件的性质适当添加辅 助线(或面)是解题的常用方法之一. (4)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高,在证明线线垂直时应优先考虑,应用时需要先认清所观察的平面及它的垂线,从而明确斜线、射影、面内直线的位置,再根据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直.另外通过计算证明线线垂直也是常用方法之一. 2.空间角的计算 主要步骤:一作、二证、三算;若用向量,那就是一证、二算. (1)两条异面直线所成的角 ①平移法:在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”,作另一条 直线的平行线,常常利用中位线或成比例线段引平行线. ②补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平 行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系. ③向量法:直接利用向量的数量积公式cosθ= (注意向量的方向). (2)直线和平面所成的角 ①作出直线和平面所成的角,关键是作垂线、找射影转化到同一三 角形中计算,或用向量计算. ②用公式计算sinθ= (PM 直线l,M∈面α,θ是l与α所成 的角,n是 面α的法向量). (3)二面角 ①平面角的作法: (ⅰ)定义法; (ⅱ)三垂线定理及其逆定理法; (ⅲ)垂面法. ②平面角计算法: (ⅰ)找到平面角,然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算. (ⅱ)射影面积法:cosθ= . (ⅲ)向量夹角公式:|cosθ|= ,n1,n2是两面的法向量. (θ是锐角还是钝角,注意图形和题意取舍). *求平面的法向量:①找;②求:
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