06年C题_易拉罐的尺寸最优设计问题.ppt

摘 要 本文研究的是易拉罐形状和尺寸的最优设计。 对于问题1我们利用游标卡尺对饮料量为355毫升的蓝带“纯爽”牌啤酒的易拉罐进行了测量，得到如下结果并作出图2： 对于问题2以用铝量最小为最优设计，并转化为求用铝体积最小的问题，建立了规划模型，目标函数关系式为： 到高与半径之比为：H=3.476R 与我们所测量的尺寸（ ）比较接近，其结果可以合理地说明我们所测 量的易拉罐的尺寸，但不能说明其形状。 对于问题3在圆台上底面半径一定的情况下，形状为黄金分割比且用铝量最小是它的最优设计，建立目标函数关系式： 得到高与半径之比为： 其结果从形状和尺寸都能比较合理的说明我们所测量的数据。 对于问题4我们将开口设计成为旋合式瓶盖，并且得到一组新的尺寸，虽然成本可能偏高，但它比现有易拉罐更为方便和卫生。 最后我们通过做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验写下了自己的 感受。 关键词：易拉罐 规划模型 黄金分割 Lingo  一、问题的提出 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚优至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。对于易拉罐的形状和尺寸的最设计我们提出了以下问题： 1. 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。 2. 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 3. 设易拉罐的中心纵断面如图（1）所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。 4. 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。 5. 用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。 二、模型假设 1、假设易拉罐的各个组成部分是同一种材料； 2、假设每种相同规格易拉罐的顶部、壁、底部的厚度都相同。 三、符号说明 ：正圆柱体易拉罐罐身的高 ：正圆台和正圆柱体结合的易拉罐罐身的高 ：易拉罐的圆台部分的高 ：易拉罐的圆柱部分的高 其中： ：易拉罐的圆柱部分的半径 ：易拉罐的圆台上底面的半径 ：易拉罐的圆台的母线长 ：制作易拉罐所需要的铝的总体积数 ：铝制易拉罐的实际容积 ：铝制易拉罐的顶部厚度 ：铝制易拉罐的壁厚 ：铝制易拉罐的底部厚度 四、问题分析 对于问题1：我们利用游标卡尺，对净含量为355毫升的蓝带原厂出品的纯爽啤酒的易拉罐（图2）进行了各部分（如直径、高度，厚度等）尺寸的测量 对于问题2：在实际生活中，经营者总是考虑成本最低，这就要求在易拉罐的设计中要使其用铝量最小。在选择厚度时，我们已经假设每个易拉罐各个部分的厚度都与我们测量的值相同，于是我们可以比较容易得出顶盖体积、底盖体积和罐壁体积。因此我们可以利用规划模型来解决用铝量（铝所消耗的体积）最小这一目标函数。 对于问题3：我们对易拉罐的罐身进行观察和分析得到，罐身上面的圆台部分有2个作用： 增强易拉罐整体的强度。 由于易拉罐顶盖的材料较贵，使用圆台以减少顶盖的