第3章 不等式 §3.4 基本不等式：ab≤a+b2(二).doc

§3.4　基本不等式：≤(二) 对点讲练一、利用基本不等式求函数的最值 例1　已知x≥，则f(x)＝有(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1 答案　D 解析　f(x)＝＝＝≥1. 当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立． 总结　本题看似无法使用基本不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用基本不等式的条件． 变式训练1　已知x，求函数f(x)＝4x－2＋的最大值． 解　因为x，所以5－4x0， 所以f(x)＝4x－2＋＝－＋3 ≤－2＋3＝－2＋3＝1 当5－4x＝，即x＝1时，f(x)max＝1. 二、利用基本不等式求代数式的最值 例2　已知x0，y0，且＋＝1，求x＋y的最小值． 解　方法一　∵＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋. ∵x0，y0，∴＋≥2＝6.当且仅当＝，即y＝3x时，取等号． 又＋＝1，∴x＝4，y＝12.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. 方法二　由＋＝1，得x＝，∵x0，y0，∴y9. x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1＝(y－9)＋＋10. ∵y9，∴y－90，∴y－9＋＋10≥2＋10＝16， 当且仅当y－9＝，即y＝12时取等号． 又＋＝1，则x＝4，∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. 总结　利用基本不等式求代数式的最值时，经常要对代数式进行变形，配凑出基本不等式满足的条件，同时要注意考察等号成立的条件． 变式训练2　已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3.求a＋b的最小值． 解　方法一　∵a＋b＋3＝ab≤，设a＋b＝t，t0，则t2≥4t＋12. 解得：t≥6 (t≤－2舍去)，∴(a＋b)min＝6. 方法二　∵ab＝a＋b＋3，∴b＝0，∴a1. ∴a＋b＝a＋＝a＋＋1＝(a－1)＋＋2≥2＋2＝6. 当且仅当a－1＝，即a＝3时，取等号． 三、基本不等式的实际应用 例3　如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成． ， 得 即 当且仅当 等号成立 ，由 解得 故每间笼长为4.5m,宽为 3m, 可使面积最大， 方法二 由 ，得 x0, 0y6, 当且仅当 即 时，等号成立，此时 (2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l，则l=4x+6y. 方法一 当且仅当 时 等号成立， 由 解得 故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小． 总结　涉及不等式的应用时，要首先建立函数关系式，适时巧用基本不等式求其最值． ?变式训练3　甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？ 解　设路程为s，跑步速度为v1，步行速度为v2， t甲=， ∴t甲≥t乙，当且仅当v1=v2时“=”成立． 由实际情况知v1v2，∴t甲t乙．∴乙先到教室． 课堂小结： 1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值． 2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解． 3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义． 课时作业一、选择题 1．函数y＝log2 (x1)的最小值为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－3 B．3 C．4 D．－4 答案　B 2．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为(　　) A．2 B．4 C．16 D．不存在 答案　B 解析　∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝4. 3．若xy是正数，则2＋2的最小值是(　　) A．3 B. C．4 D. 答案　C 解析　2＋2＝x2＋y2＋＋＋ ＝＋＋≥1＋1＋2＝4. 当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号． 4．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有(　　) A．2∈M,0∈M B．2M,0?M C．2∈M,0M D．2M,0∈M 答案　A 解析　∵(1＋k2)x≤k4＋4，∴x≤. ∵＝＝(1＋k2)＋－2≥2－2. ∴x≤2－2，M＝{x|x≤2－2}，∴2∈M,0∈M. 二、填空题 5．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元． 答案　1 760 解析　设水池的造价为y元，长方形底的一边长为x m，由于底面积为4 m